Студопедия — Распределение случайных ошибок одинаково при любых значениях У.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Распределение случайных ошибок одинаково при любых значениях У.






Наличие 3х ограничений превращает общий случай распределения в указанный на рис.1б.

Общее уравнение прямой на графике имеет вид: Ус = кХ+b (1)

Надо:Получить такие выражения для к и b,чтобы сумма квадратов отклонений переменной У от этой прямой была минимальной.

 

Пусть Ус – точное значение У при любых значениях Х. Тогда (У – Ус) – отклонение при любом значении Х.

Необходимо (согласно условиям) миминизировать Σ(У – Ус)2 или Σ(У – kX – b)2

В этом случае должны выполняться следующие соотношения:

или (2) (3)

 

Если имеется п отсчетов, то уравнение (2) после дифференцирования имеет вид:

nb + kΣX = ΣУ ( здесь db = nb,)(4)

а уравнение (3) имеет вид bΣX + kΣX2 = ΣXУ (5)

Решая уравнения (4) и (5) как систему, находим:

и . (6) (7)

Если известно, что функция ХУ проходит через начало координат, то в этом случае b = 0 (в формуле (1)) и получаем простое выражение для (8)

Подстановка в (6) и (7) экспериментальных данных и последующие вычисления утомительны и приводят к результатам, имеющим большие числа.

 

Некоторые упрощения вычислений с помощью двух несложных приемов:

1. Находим средние значения Хт и Ут и выбираются преобразованные переменные Х1=Х - Хт и У1=У-Ут. При этом начало координат временно переносится в центральную точку распределения. В этом случае ХУ и Х2 сокращаются..

2. Проводится (на глаз) приближенная прямая, проходящая близко к исследуемой и с помощью этой прямой оцениваются приближенные значения двух постоянных А и В. При этом координаты приближенной прямой известны (в виде U= KХ+B (9)

где kи Bнам известны. Из формул (1) и (9) получаем уравнение для разности (U – У):

U – У = (K – k)X = (B – b) (10)

Обозначив (U – У)= У1, k1 = (K-k) иb1= (B-b) по формулам (6) и (7) рассчитываем коэффициенты k1 и b1.

Далее определяем: K = k –k1иb = B –b1. Определяя значения двух точек: например

Х = 0 (Х = Хmin) и Х = Хmax, по ним строим прямую.

Пример:Проверяется зависимость снижения температуры в трубе парового отопления от ее длины.

При неизменных окружающих условиях получены следующие данные:

Изменение ΔТ˚С          
Длина трубы Lм          

Вопрос:Какого рода график можно построить на основе этих данных применяя метод наименьших квадратов и что можно сказать об этих данных в целом (как охарактеризовать)?

Решение: Допустим, что график функции имеет вид прямой, которую можно построить «на глаз» и найти приближенные значения К и В для подстановки в уравнение.

Определение температуры для всей трубы может привести к неудовлетворительной точности в оценке ΔТ˚С в следствие наличия градиентов в любом заданном поперечном сечении. В то же время мы считаем, что значение L точно определено.

Приближенная прямая проведена на глаз с угловым коэффициентом, равным 1 для облегчения вычислений (см. рис.15).

 

Рис. 15. Графическое изображение данных

 

На графике показаны: приближенная прямая __ __; наилучшая прямая, построенная методом наименьших квадратов ____.

 

 

Тогда уравнение прямой принимает вид: ΔU = KX + B = 1·L + 0, где U – температура ˚С, L – длина трубы (м)

Уравнение для разности (10) имеет вид: ΔU – ΔT = (1-k) L+ (0-b), т.к. для приближенной прямой k = 1; b = 0.

Для дальнейшего упрощения вычислений перенесем оси координат.

При этом ΔТ1 = ΔТ – 12; ΔU1= ΔU – 12; ΔL1 = L – 12.

Полная таблица вычислений:

ΔT L ΔU=1·L ΔТ1=ΔT-12 ΔU1= ΔU – 12 ΔL1 = L – 12 ΔU1 – ΔT1 (L1)2 L1(ΔU – ΔT1)
      -7 -5 -8 -4 -8 -4 -1 -3 -4 -2   -4 -16 -16
n=5         ΣX = 0 ΣУ= -9 ΣХ2= 160 ΣХУ= -28

 

Применяя формулы (6) и (7) получаем: = - 1,8; b = 1,8

Эти численные значения были получены для преобразованной системы координат.

ΔТ – 12 =1,18(L - 12) +1,8 или ΔТ = 1,18L – 0,4.

Полученное уравнение – прямая на графике, построенная по данным, полученным способом наименьших квадратов.

Известно, что значение В должно быть равно нулю, а не0,4.

Эта небольшая величина отрезка, отсекаемого на координатной оси, не должна быть причиной, чтобы считать полученные результаты неудовлетворительными.

В этом простом случае перенос координат осей и использование приближенной функции позволяют достаточно наглядно проиллюстрировать эти методы.

Поскольку принятая нами модель - бесконечная последовательность идентичных кривых нормального распределения, расположенных вдоль наилучшей прямой, задаем вопрос:

Каковы показатели точности этих нормальных распределений?

Среднеквадратическое отклонение: S2 = , где х – отклонение произвольного отсчета относительно наилучшего значения.

Решение: Составим таблицу данных для каждой из 5 ти точек, куда запишем истинные значения (т.е. полученное методом наименьших квадратов), а также измеренные значения

L 1,18L ΔТнаим кв = 1,18L – 0,4 ΔТизмер (ΔТнаим кв – ΔТизм)2  
  4,75 9,5 14,2 19,0 23,7 4,35 9,1 13,8 18,6 23,3   0,42 4,412 1,45 1,97 1,7

Σ = 9,96

Тогда = 1,56˚C

Если известно, что полученные точки образуют кривую и с помощью простых алгебраических преобразований нельзя получить линейный график, то методом наименьших квадратов необходимо подобрать некоторый многочлен с несколькими постоянными

Если случайную ошибку невозможно сконцентрировать в переменной У и она наблюдается как для переменной Х, так и для У, то необходимо применить более трудоемкий метод наименьших квадратов.

Если точность переменных Х и У меняется при изменении Х и У, то в разных частях области, определенной заданием, данные должны иметь различный вес. Правильная оценка весов (значимости) дает представление о том, каким образом происходит изменение точности.

Исследование функций графическими методами

Имея данные, которые в определенной системе координат могут быть представлены в виде прямой, надо найти ее уравнение. Такое уравнение обычно называется эмпирическим, т.е. его находят по эмпирическим данным, а не из теоретических соображений.

Основная задача эксперимента – выбор и преобразование системы координат т.о., чтобы полный набор данных давал по возможности прямую линию.

Если полученные данные не образуют прямой на графике, то можно попытаться построить график в логарифмических координатах (или наносить логарифмы значений Х и Y на линейную графическую бумагу – миллиметровку).

В логарифмических координатах график простой функции Y = kXa имеет вид прямой. (11)

Переходя к логарифмам получим: log Y = log k + a log X, (12)

где k и а – согласующие постоянные.

Полулогарифмическая графическая бумага - когда одна шкала логарифмическая, а другая – линейная. В этом случае получается прямая, если данные подчиняются закономерности Y = k(10)аХ,которая идентичнафункции Y = k e2,3026аХ.

После преобразования получим: log Y= log k + a X,(13)

и чтобы получить прямую по оси Y применяем логарифмическую шкалу, по оси Х – линейную.

Иногда применяется бумага специального вида (гиперболическая, с тремя осями координат). Однако в применении ее нет необходимости.

Например, гиперболическую функцию (14)

можно представить в виде прямой, построив в линейных координатах зависимость Х / Y = f (X)или 1/Y = f (1/ X).

В случае уравнения параболы, состоящего из 3х членов возможны способы получения линейного графика:

1. Возьмем на кривой,построенной по полученным данным, произвольную точку 1; Y1). Тогда У1 = a + bX1 + cX12.Вычитая Y – Y1 = b(X – X1) + c(X2 – X12)и разделив обе части уравнения на (Х –Х1) имеем: (Y –Y1) / (Х –Х1) = b + c (X + X1),где b + c X1 - постоянная.

Если это уравнение удовлетворяет полученным данным, то график зависимости (Y –Y1) / (Х –Х1) от Х будет иметь вид прямой.

2. Дифференцируем уравнение (15), получаем: dY/ dX = b = 2cX. Если значения берутся через равные интервалы, то график зависимости dY / dX от Х будет иметь вид прямой.

Наилучшая методика состоит в том, что: В начале данные наносятся на график в линейных координатах, затем через точки проводится плавная кривая. После этого выбирается наиболее подходящая функция и на кривой берутся произвольные точки для проверки соответствия принятой функции. Такая проверка (алгебраическая) проводится для всей области данных.







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 432. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Схема рефлекторной дуги условного слюноотделительного рефлекса При неоднократном сочетании действия предупреждающего сигнала и безусловного пищевого раздражителя формируются...

Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны Уравнением упругой волны называют функцию , которая определяет смещение любой частицы среды с координатами относительно своего положения равновесия в произвольный момент времени t...

Медицинская документация родильного дома Учетные формы родильного дома № 111/у Индивидуальная карта беременной и родильницы № 113/у Обменная карта родильного дома...

Экспертная оценка как метод психологического исследования Экспертная оценка – диагностический метод измерения, с помощью которого качественные особенности психических явлений получают свое числовое выражение в форме количественных оценок...

В теории государства и права выделяют два пути возникновения государства: восточный и западный Восточный путь возникновения государства представляет собой плавный переход, перерастание первобытного общества в государство...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия