Эмпирическая плотность распределения

Определение. Эмпирической плотностью распределения, соответствующей реализации случайной выборки из генеральной совокупности , называют функцию , которая во всех точках i -го интервала, , принимает значение , а вне интервала равна нулю, т.е.

График функции представляется в виде гистограммы плотности относительной частот – диаграммы, составленной из прямоугольников с основанием и высотами , .

 

ГРАФИК!

 

 

Нетрудно увидеть, что суммарная площадь всех прямоугольников, образующих такую диаграмму, равна 1, т.к. .

Рассмотрим случайную величину , которая для каждой реализации случайной выборки равна относительной частоте . В соответствии с законом больших чисел в форме Бернулли при сходится по вероятности к вероятности попадания случайной величины в i -ый интервал, , т.е.

.

Если длина интервалов мала и объем выборки n велик, то с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что , или , где - середина i -го интервала, . Таким образом, при большом n и достаточно малом с вероятностью, близкой к 1, можно считать, что . Следовательно, можно считать выборочным аналогов плотности распределения генеральной совокупности.

Наряду с гистограммой используют другое графическое представление для приближенного описания функции , которое называют полигоном частот (относительных частот, плотности относительных частот) – это ломаная, отрезки которой соединяют середины горизонтальных отрезков, образующих прямоугольники в гистограмме.

Полигон строится также в том случае, когда в эксперименте наблюдают дискретную случайную величину . В этом случае по оси абсцисс откладывают значения , а по оси ординат – соответствующие им значения частот или относительных частот , и соседние точки соединяют отрезками прямой.