Коннексивная импликация

Следующий отрывок из «Первой аналитики» Аристотеля вызвал многочисленные и противоречивые комментарии: «... невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть и когда его нет: я имею в виду, например, <такое отношение>, что когда А бело, то В необходимо велико, и что когда А не бело, то В <также> необходимо велико... В таком случае, если В не велико, то и А не может быть белым. Если же <предположить>, что В необходимо велико, когда А не бело, то с необходимостью вытекает, что В велико, когда оно не велико, а это невозможно»[2].

Здесь Аристотель ясно указывает два кажущихся ему логически истинными утверждения с импликацией, не являющейся стандартной. В терминах пропозиционального исчисления они представляются так:

~((p → q) & (~ p → q)),

~ (~ Р → P).

Второе из этих утверждений, согласно которому никакое высказывание не может имплицироваться его собственным отрицанием, можно назвать «тезисом Аристотеля».

В «De Syllogismo Hypothetico» Боэций приводит следующую форму вывода: «Si est A, cum sit В, est С;... atqui cum sit В, non est С; non est igitur А», что можно передать так: «если р, то если q, то г; и если q, то не-r; следовательно, не-р». Символически:

– 53 –

(p → (q → r)&(q →~ r) →~ p

Ход мысли Боэция, приведший его к утверждению обоснованности вывода данной формы, был, по-видимому, таким: импликации «если q, то г» и «если q, то не-r» являются взаимно несовместимыми, что по modus tollens влечет не-р[3].

Тезисы Аристотеля и Боэция ложны в случае материальной импликации, но удовлетворяют, по мнению С.МакКолла, коннексивной импликации, предложденной Секстом Эмпириком. Согласно последнему, импликация является коннексивной в том случае, когда ее антецедент несовместим с противоположностью консеквента.

Аристотелевский тезис имплицитно использует коннексивную импликацию: не-р никогда не имплицирует р, так как не-р не является несовместимым с не-р. Если р несовместимо с не-q, т.е. р коннексивно имплицирует q, то р никогда не будет несовместимым с отрицанием не-q. т.е. не будет верным имплицирование р не-q. Это и утверждается тезисом Боэция.

Неоднократно предпринимались попытки показать, что Аристотель и Боэций, принимая обоснованность указанных форм вывода, ошибались. Имеются, однако, работы, в которых утверждается приемлемость этих форм в случае тех или иных видов импликации. Е.Нельсон выводит тезис Боэция из своего определения логического следования. Т.Сторер принимает в качестве одной из аксиом, характеризующих импликацию, связывающую описательное высказывание с императивным, формулу:

~ (р → q) ≡ (р →~ q).

П.Стросон в качестве примера закона, справедливого для связки «если, то» в ее стандартном, или главном, употреблении, называет формулу:

~ ((если р, то q) & (если р, то не-q)).

В ряде работ отстаивается точка зрения, что импликации

(р → q) и (р →~ q)

являются несовместимыми в случае каузальной импликации, в случае сослагательных условных предложений и др.

– 54 –

В этой связи представляется интересным исследование логических следствий принятия утверждения о несовместимости импликаций (если р, то q) и (если р, то не-q).

Особенностью коннексивной импликации является, таким образом, то. что она удовлетворяет принципам

~ (р →~ р)

~ (~ р → р)

и т.п., аналоги которых неприемлемы в случае материальной, строгой, сильной и других стандартных импликаций.

Обычно теория коннексивной импликации строится независимо от теорий иных импликаций и не сопоставляется с ними.

Можно, однако, определить коннексивную импликацию как строгую импликацию, на антецедент или консеквент которой налагаются определенные ограничения.

Четыре возможных варианта коннексивной импликации задаются следующими определениями:

Д1. р→₁ q = _Df L (р⊃q) & ~ L ~р,

Д2. р→₂ q = _Df L (р⊃q) & ~ Lq,

ДЗ. р→₃ q = _Df L (р⊃q) & (~ Lр ∪ ~ Lq),

Д4. р→₄ q = _Df L (р⊃q) & ~ L ~р & ~ Lq.

Согласно Д1, коннексивная импликация есть строгая импликация с возможным антецедентом.

По Д2 – это строгая импликация с не являющимся необходимым консеквентом.

Согласно ДЗ и Д4 – строгая импликация с возможным антецедентом или/и ненеобходимым консеквентом.

Присоединение любого из этих определений к стандартным системам строгой импликации позволит показать, что каждая из них содержит некоторую теорию коннексивной импликации.

Система коннексивной импликации, содержащаяся в модальной системе Т, дополненной определением Д1 (система I 1T), определяется следующими аксиомами, присоединяемыми к классической логике высказываний (∆ – произвольная тавтология этой логики,... – материальная импликация, ≡ – материальная эквивалентность):

А1. (р → q) & р ⊃ q

А2. р ⊃ (р → р),

A3, (р → q) & (р → г) ≡ (р → q & г),

– 55 –

А4. (р → q) ⊃~ (q →~ p),

A5. (p → q) ⊃ (∆ → (p ⊃ q)),

A6. ~(b →~p)⊃ ((∆ → (p ⊃ q)) ⊃ (p → q))

Дополнительным правилом вывода является правило экстенсиональности, позволяющее заменять одно или более вхождений некоторого выражения в доказанную формулу вхождениями эквивалентного ему выражения.

Аксиоматизации теорий коннексивной импликации, содержащихся в модальных системах S4 и S5, дополненных определением Д1 (системы I1S4 и I1 S5), могут быть получены присоединением к аксиомам I1T формул

(р → q) ⊃ (р → q) и ~(p → q) ⊃ (∆ →~ (р → q))

соответственно.

Некоторые теоремы I1Т:

~ (p →~ p), (р → q) & (p →~ q) ⊃ ~ p,

~ (~ p → p), (р → q) ≡ (р →~~q),

(р → q) ⊃~ (p →~ q), (~~p → q) ≡ (p → q),

(р → q) & (р → q) → (р v r → q), (p → q) ⊃ (p → q v r)),

(~ p → p) ⊃ p, ~ (p → q & ~ q),

(p →~ p) ⊃ ~ p, (p → (p → q)) ⊃ (p → q)

В I 1T не доказуемы формулы:

p ⊃ (q → p), p → ∆,

p → (q ⊃ p), ~ ∆ → p,

p → (q → p), p & q → p,

p ⊃ (~ p → q), p →p v q,

p → (~p ⊃ q), (p v q → q) ⊃ (p → q),

p → (~ p → q), (p → q) ⊃ (~ q → ~ p).

Система коннексивной импликации, содержащаяся в модальной системе Т, дополненной определением Д2 (система I2T), определяется следующими аксиомами, присоединяемыми вместе с правилом экстенсиональности к классической логике высказываний:

Al. (р → q) & р ⊃ q

А2. (р v q → г) ≡ (р → г) & (q → г),

A3. ~ р ⊃ (р → р),

A4. (p →.q) ⊃~ (~ q → p),

A5. (p →q) ⊃ (~ (p ⊃ q)→~ ∆),

А6. ~ (~ q →~ ∆) ⊃ ((~ (р ⊃ q) →~ ∆) ⊃ (р → q)).

– 56 –

Аксиоматизации теорий коннексивной импликации, содержащихся в модальных системах S4 и S5, дополненных Д2 (системы I2S4 и I2S5), могут быть получены присоединением к аксиомам I2T формул

(р → q) → (~ р → q) → q),

~ (р → q) ⊃(p → q) →~ ∆)

соответственно.

Система коннексивной импликации, содержащаяся в модальной логике Т, дополненной определением ДЗ (система I3T), определяется следующими аксиомами, присоединяемыми к классической логике высказываний:

А1. (р → q) & p ⊃ q,

А2. р ⊃ (р → р),

A3, (р → q) & (р → г) ⊃ (р → q & г),

А4. (р → q) ⊃ (∆ → (р ⊃ q)),

А5. (р → q) ⊃~ ((∆ →~ р) & (∆ → q)),

А6. ~ (∆~→ р) ⊃ ((∆ → (p ⊃ q)) ⊃ (р → q)),

А7. ~ (∆ →~ q) ⊃ ((∆ → (p ⊃ q)) ⊃ (р → q)).

Дополнительными правилами вывода являются правило экстенсиональности и правило:

если доказуемы б ⊃ в и г, то доказуемо (г → б) ⊃ (г →в).

Аксиоматизации теорий коннексивной импликации, содержащихся в модальных системах S4 и S5, дополненных ДЗ (системы I3S4 и I3S5), получаются присоединением к аксиомам I3T формул

(р → q) ⊃ (∆ → (р → q)),

~ (р → q) ⊃ (∆ →~ (р → q)).

Принятие определения:

Lp = _Df∆ → ₁p

позволяет показать, что системы I1Т, I1S4 и I1S5 содержат, соответственно, системы Т, S4 и S5, дополненные определением Д1. Определения

Lp = _Df ~ p →₂ ~ ∆,

Lp = _Df∆ → ₃p,

(или: Lp = _Df ~ p →₃ ~ ∆)

дают возможность показать, что теории импликаций РТ и FT, FS4 и FS4, FS5 и Р55 также содержат модальные логики Т, S4 и S5, соответственно.

– 57 –

Коннексивные импликации →2, →, и →₄ определимы в терминах импликации →₁:

р →_{2q = Df (∆ →1p ⊃ q)) & ~ (∆ →1 q),, (}

p →_{3 q = Df (p →1q) v (p→2q), ~}

р →_{4q = Df (р→1 q) & (р→2q).}

Вместо →₁ могут использоваться также →₂, и →₃:

р →_{1 Df (~ (р ⊃ q) →2 ∆) & ~ (р →2 ~ ∆),}ч =

р →_{1 q = Df ((∆→3q)) & ~ (∆→3 ~ р). (р ⊃}