Студопедия — Определение модальной логики
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение модальной логики






Основываясь на сходстве различных ветвей модальной логики, можно дать такое общее определение модальной теории. Логическая теория, содержащая, по меньшей мере, три квалифицирующих понятия (оператора), является модальной, если она удовлетворяет следующим условиям:

(а) она является надстройкой над логикой ассерторических высказываний;

(б) квалификации, даваемые сильными ее понятиями, несовместимы с квалификацией, даваемой слабым понятием;

(в) из простой истинности или ложности высказывания нельзя заключить, какую именно основную модальную характеристику должна иметь устанавливаемая в этом высказывании связь;

(г) из квалификации высказывания с помощью слабого модального понятия не следует ни то, что высказывание истинно, ни то, что оно ложно;

(д) если высказыванию приписывается слабая модальная характеристика, то и его отрицанию должна быть приписана эта характеристика.

Указанные условия представляют собой требования, которым должна удовлетворять каждая логическая модальная теория. Первое из них вытекает из самого определения модальных понятий как средств уточнения характера связей, устанавливаемых ассерторическими высказываниями. Нарушение остальных требований делает излишней саму квалификацию с помощью модальностей и приводит к вырождению модальной теории в логику простых утверждений и отрицаний.

Основная идея предлагаемой далее систематизации модальной логики состоит во введении определяемого аксиоматически понятия минимальной модальной системы. Эта система должна быть той обшей частью различных модальных теорий, приемлемость утверждений которой не зависит ни от специфических свойств отдельных групп модальных понятий, ни от тех или иных допущений об области их приложения. Ее законы должны быть справедливыми для модальностей всех типов и должны вместе с тем давать сравнительно подробное описание их формальных свойств.

Для построения минимальной модальной логики недостаточно, конечно, указания тех связей модальностей, которые зафиксированы в определении модальной теории. Абстрактную характеристику,

– 67 –

даваемую этим определением, следует дополнить дальнейшими утверждениями, говорящими о сложных объектах (принципами дистрибутивности).

Введем следующие обозначения:

V, Y, W – сильный положительный, сильный отрицательный и слабый модальные операторы соответственно;

U – дополнительное модальное понятие, определимое в рамках минимальной логики в терминах основных.

Если минимальная логика интерпретируется как теория логических модальностей, выражение Vp означает «логически необходимо р», Yp – «логически невозможно р)», Wp – «логически случайно р» и Up – «логически возможно р)».

Если эта логика понимается как теория деонтических модальностей, Vp означает «обязательно р», Yp – «запрещено р», Wp – «нормативно безразлично р)» и Up – «разрешено р».

В случае модальных понятий других групп выражение Vp представляет одно из утверждений: «онтологически необходимо р», «доказуемо (верифицируемо) р», «рассматриваемый субъект убежден в том, что р», «хорошо р», «всегда р» и т. д. Соответственно, выражением Yp представляется при этом одно из утверждений: «онтологически невозможно р», «опровержимо (фальсифицируемо) р», «субъект отвергает р», «плохо р», «никогда не имеет места р» и т. д.; и выражением Wp – одно из утверждений: «онтологически случайно р», «неразрешимо (непроверяемо) р)», «субъект сомневается в том, что р», «аксиологически безразлично р», «только иногда имеет место р» и т. д.

Минимальная модальная логика (система Ml) определяется следующим множеством аксиом и правил вывода:

АО. Аксиомы классической пропозициональной логики,

А1. ~ (Vp & Wp)& ~ (Wp & Yp)

А2. Vp & Vq ⊃ V(p & q)

A3. Wp ⊃ W ~ p

A4. V(p v q) v W(p v q) ≡ Vp v Vq v Wp v Wq

A5. Y(p v q) ≡ Yp & Yq

(Rl) правило подстановки формул пропозициональной логики вместо пропозициональных переменных;

(R2) правило отделения;

(R3) правило экстенсиональности, позволяющее заменять одно или более вхождений некоторого выражения в формулу вхождениями в эту формулу эквивалентного ему в рамках данной системы выражения.

– 68 –

Первые три аксиомы системы М1 являются символической формулировкой условий (а), (б) и (д) определения модальной теории. Нетрудно показать, что М1 удовлетворяет и двум другим требованиям, предъявляемым этим определением. Формулы

p ⊃ Vp,

p ⊃ Yp.

p ⊃ Wp.

~ p ⊃ Vp,

~ p ⊃ Yp,

~p ⊃ Wp.

Wp ⊃ p.

Wp ⊃ ~ p

не являются теоремами ни минимальной модальной логики, ни ее расширений.

Аксиомы АЗ–А5 представляют собой принципы дистрибутивности трех основных модальных операторов. В эпистемической интерпретации первая из них, в частности, утверждает, что если доказуемо р и доказуемо q, то доказуема также конъюнкция этих двух высказываний; согласно А5 опровержимость дизъюнкции двух высказываний эквивалентна опровержимости каждого из них. В деонтической интерпретации A3 говорит, что из обязанности реализовать ситуацию, описываемую высказыванием р, и обязанности реализовать ситуацию, описываемую высказыванием q, следует обязанность выполнить действие, ведущее к ситуации, в которой истинны оба эти высказывания; А5 в этой интерпретации утверждает, что запрещение р и запрещение q равносильно запрещению реализации ситуации, в которой истинно хотя бы одно из этих высказываний. Сходные идеи выражаются этими аксиомами и в других интерпретациях.

В большинстве групп модальностей сильные модальные понятия взаимно определимы таким образом:

Vp = DfY~p.

Yp = DfV~p.

Принятие определений позволяет уменьшить число исходных символов и аксиом системы М) и тем самым упростить ее.

В терминах V и W может быть определено дополнительное модальное понятие U:

Up=DfVp v Wp.

– 69 –

Применительно к логическим и онтологическим модальностям это определение, в частности, означает, что возможное является или необходимым, или случайным. В деонтической интерпретации оно говорит, что разрешенное действие или обязательно, или нормативно безразлично. В логике убеждений оно утверждает, что субъект допускает что-то, если и только если он или убежден в этом, или сомневается в нем.

В системе М1, являющейся очень слабой модальной логикой, доказуемы, тем не менее, многие интересные положения о логических связях модальных высказываний:

Tl. V(p & q) ≡ Vp & Vq.

T2. W(p v q) ⊃ Wp v Wq,

T3.Y(p v q) ⊃ Yp,

T4. U(p v q) ≡ Up v Uq,

T5. Wp ⊃ ~ Vp & ~ Yp,

T6. Wp ⊃ Up & U ~ p,

T7. Vp ⊃V(q ⊃ p),

T8. Vp ⊃ Up.

Из первой из этих теорем с помощью разных интерпретаций могут быть получены утверждения: «Обязательно сделать р и q в том и только том случае, если обязательно сделать р и обязательно сделать q»; «Всегда имеет место р и q, если и только если всегда есть р и всегда есть q»; «конъюнкция двух состояний является добром тогда и только тогда, когда каждое из этих состояний есть добро» и т. д. Т4 позволяет получить утверждения: «логически возможно по меньшей мере одно из двух высказываний, если и только если логически возможно первое из них или логически возможно второе»; «разрешено хотя бы одно из двух действий, если и только если разрешено первое из них или разрешено второе»: «субъект допускает, что верно р или q, если и только если он допускает р или допускает q» и т. д. Теорема Т5 дает утверждения: «логически случайное высказывание не является ни логически необходимым, ни логически невозможным»; «нормативно безразличное ни обязательно, ни запрещено», «аксиологически безразличное не является ни хорошим, ни плохим»; «неразрешимое не доказуемо и не опровержимо» и т. д.

Примерами утверждений, получаемых из Т6, являются утверждения: «онтологически случайное событие может произойти, но может и не произойти», «безразличное действие таково, что разрешено его выполнять и разрешено воздерживаться от него», «субъект, сомневающийся в истинности некоторого высказывания, допускает как его истинность, так и его ложность» и т. д. Из теоремы Т8 могут быть получены утверждения: «логически необходимое логически возможно», «обязательное разрешено», «высказывание, в истинности которого субъект убежден, допускается им» и т. д.

– 70 –

Модальная логика Ml является минимальной теорией модальностей всех типов и может в силу этого сопоставляться с основной модальной логикой Лукасевича. В М1 не доказуемы формулы:

Vp ⊃ p,

Up ⊃~ V ~р.

~ V ~ р ⊃ Up,

p ⊃ Up.

Vp ⊃~ U ~ p,

~U~p ⊃Vp,

соответствующие таким утверждениям логики Лукасевича, как «необходимое высказывание истинно», «истинное высказывание возможно», «если высказывание возможно, то его отрицание не является необходимым», «если высказывание необходимо, то его отрицание невозможно», «если высказывание не является необходимым, то противоречащее ему высказывание возможно» и «если высказывание невозможно, то противоречащее ему высказывание необходимо». Все эти утверждения, как будет показано далее, основываются на определенных допущениях об области приложения теории модальностей и не могут быть приняты в минимальной модальной логике.

Это показывает, что основная логика Лукасевича не является минимальной в нашем смысле и что существуют теории необходимости и возможности, не являющиеся модальными логиками в смысле Лукасевича.

Минимальная модальная логика может расширяться в нескольких направлениях. Нас будут интересовать два из них: расширение принципом модальной полноты и расширение принципами модальной непротиворечивости.

Принцип, являющийся аналогом закона исключенного третьего ассерторической логики и утверждающий, что всякое высказывание, имеет по меньшей мере одну из трех основных модальных характеристик, мы будем называть принципом модальной полноты. Его символическая формулировка:

(*) Vp v Wp v Yp.

Применительно к логическим модальностям он говорит, что всякое высказывание или логически необходимо, или логически случайно, или логически невозможно. В теории эпистемических модальностей он утверждает, что каждое высказывание или доказуемо, или опровержимо, или неразрешимо: в деонтической логике он квалифицирует каждое действие как обязательное, безразличное или запрещенное.

– 71 –

Идею полноты можно выразить также с помощью одной из следующих формул:

~ V ~ p ⊃ Up,

~ Yp ⊃ Up, Up v U ~ p.

Они эквивалентны формуле (*) на базе системы М1, дополненной определением

Yp = DiV~ p.

Утверждения, выражаемые последними тремя версиями принципа полноты в терминах деонтической логики, можно передать так: «действие разрешено, если воздержание от него не является обязанностью», «всякое не запрещенное действие разрешено» и «относительно любого действия верно, что разрешено или выполнять его, или воздерживаться от него». В случае логики убеждений приведенные формулы выражают утверждения: «субъект, не убежденный в истинности некоторого высказывания, допускает его ложность», «субъект, не отвергающий некоторое высказывание, допускает его истинность» и «всякое высказывание таково, что рассматриваемым субъектом допускается его истинность или допускается его ложность». Если убежденность, сомнение, отвержение и допущение понимаются как определенные осознанные интеллектуальные операции некоторого субъекта, о принципе эпистемической полноты можно сказать, что им предполагается охват этим субъектом всех высказываний. Очевидно, что реальные субъекты сталкиваются только с ограниченным кругом высказываний и не имеют никакого мнения об истинностном значении как неизвестных им высказываний, так и многих из тех высказываний, которые знакомы им. Это означает, что введение в логику убеждений принципа полноты должно истолковываться как определенное ограничение, налагаемое на те системы убеждений, для исследования которых может применяться эта логика.

Аналогично обстоит дело с принципами логической, онтологической, временной и аксиологической полноты. Согласно, например, последнему из них, всякая вещь является или хорошей, или плохой, или безразличной. Это утверждение справедливо только при допущении, что аксиологическая область (т. е. множество вещей, о ценности каждой из которых имеется определенное представление) совпадает с множеством всех вещей. Иными словами, теория аксиологических модальностей, содержащая принцип полноты, применима только для анализа полных систем оценок.

– 72 –

Согласно закону противоречия ассерторической логики утверждение и отрицание определенной связи не могут приниматься вместе. Этот закон можно рассматривать как ограничение области приложения содержащей его логической системы непротиворечивыми рассуждениями и, соответственно, как требование исключать логические противоречия из рассуждения. Модальными аналогами закона противоречия являются следующие утверждения: «ложное высказывание не имеет сильной положительной модальной характеристики», «истинное не имеет сильной отрицательной характеристики» и «если высказывание имеет одну из сильных модальных характеристик, то его отрицание не имеет данной характеристики».

Символически:

~ (Vp & ~ р),

~ (Yp & р),

~ (Vp & V~p),

~ (Yp & Y ~ p).

Первые две из этих формул можно назвать сильными принципами модальной непротиворечивости, а выводимые из них две последние формулы – слабыми принципами.

В некоторых разделах модальной логики приемлемы как слабые, так и сильные принципы модальной непротиворечивости, в других – только слабые. Например, в стандартных теориях логических модальностей доказуемы как утверждения «ложное высказывание не является логически необходимым» и «истинное высказывание не является логически невозможным», так и утверждение «два противоречащих высказывания не могут быть оба логически необходимыми и не могут быть оба логически невозможными». Сходные утверждения являются верными также в случае обычных теорий онтологических и временных модальностей. К истинам логики знания относится как положение «ложное высказывание не доказуемо, а истинное не опровержимо», так и положение «противоречащие друг другу высказывания нельзя ни доказать, ни опровергнуть вместе».

Примерами разделов модальной логики, в которых приемлемы только слабые принципы модальной непротиворечивости, могут служить теории деонтических и аксиологических модальностей, а также логика убеждений.

Основание, склоняющее к принятию слабых принципов деонтической непротиворечивости, состоит в том, что нельзя одновременно выполнить некоторое действие и воздержаться от него.

– 73 –

Наличие в нормативном кодексе противоречивых обязанностей ставит их субъекта в положение, в котором, как бы он ни вел себя, он нарушит одну из своих обязанностей. Кодекс, требующий выполнения невозможного, естественно считать несовершенным.

Таким образом, принципы деонтической непротиворечивости могут быть отнесены к истинам логики. Их принятие связано, однако, с принятием определенных предположений о природе и целях нормативного рассуждения, о связи его с действием. Необходимо поэтому отделить эти принципы от других утверждений логики норм, приемлемость которых не зависит от каких-либо сходных допущений. Требуется, иными словами, стратификация логической теории норм, построение ее в виде расширяющейся теории.

Сходным образом обстоит дело и с принципами логической, онтологической, временной, аксиологической и эпистемической непротиворечивости. В частности, введение в логику убеждений принципа «субъект не может быть убежден в истинности каждого из двух противоречащих друг другу высказываний» допустимо рассматривать как выдвижение определенного требования к системам или совокупностям убеждений, а именно требования непротиворечивости этих систем. Можно, с другой стороны, считать, что принятие этого и подобных ему принципов просто ограничивает область приложения логики убеждений множеством непротиворечивых систем убеждений. При таком понимании данный принцип не предполагает, в отличие от первого его истолкования, дополнительного требования устранять противоречия из реальных систем убеждений.

Модальные логики, содержащие слабые или сильные принципы модальной непротиворечивости, можно называть сильными, отличая их от слабых модальных логик, в которых эти принципы не выводимы. Если истолковывать переход от слабых модальных логик к сильным как ограничение систем высказываний, для анализа которых могут быть использованы эти логики, непротиворечивыми в модальном смысле системами, то становится понятным и оправданным интерес к самим слабым логикам.

Сильные логики приложимы только к непротиворечивым множествам высказываний, слабые же могут использоваться для логического исследования любых совокупностей высказываний и не требуют предварительного исключения из них модальных противоречий.

– 74 –







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 537. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия