Определенный интеграл. =1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 2.Понятие определенного интеграла. Геометрический и физический смысл. Классы интегрируемых функций.
1.Интегрирование тригонометрических функций. Рассмотрим интеграл вида: òR(sinx, cosx)dx, здесь R- рациональная функция от аргументов sinx, cosx. Такой интеграл вычисляется с помощью универсальной подстановки. Ia)
Пример: = =
= где t=tg Iб) Если sinx и cosx – чётные степени, то удобнее ; ; Пример: = = где t=tgx II.) Функция R(sinx, cosx) cодержит sinx или cosx в положительной нечётной степени. Тогда применяется метод «отщепления».
=- = III. Функция R(sinx, cosx) содержит sinx или cosx в чётной положительной степени. Тогда применяется понижение степени по формулам 1-cosa=2sin2 ; 1+cosa=2cos2 ; Пример:
+ IV. R(sinx, cosx) – содержит sinx или cosx в чётной отрицательной степени. Тогда используются формулы Пример:
+ V. Интегралы вида:
вычисляются с применением формул
Пример: = Замечание: Интегралы, которые не выражаются через элементарные функции, называются неберущимися. К ним относятся и др. В теории рядов рассмотрим способы вычисления таких интегралов
|