Понятие определённого интеграла.

Определение. Пусть функция у=f(x)- определена и ограничена на промежутке [a, b] тогда суммы вида

åf(z_i)Dx_i

называются интегральными суммами функции f(x) на [a, b].

Определение. (Определённого интеграла). Предел интеграль­ных сумм, если он существует и не зависит ни от способа разбиения промежутка [a, b] на элементарные части, ни от выбора точек z_i, при условии, что l=maxçDx_iç®0 называется определённым интегралом и обозначается

Замечание. Из первых двух задач следует физический и геомет­рический смысл определённого интеграла

1). =m – масса линейного материального стержня [a, b], если f(x)- плотность распределения масс.

_b

2). òf(x)dx – S – площадь криволинейной трапеции, ограниченной

^a функцией f(x), x=a; x=b; и осью ox.

Замечание. Для того, чтобы ввести классы интегрируемых функций введём понятие так называемых сумм Дарбу (итальянский математик).

Обозначим: m_i – точная нижняя граница f(x) на (x_i; x_i+1); M_i- точ­ная верхняя граница f(x) на (x_i; x_i+1); Тогда, если z_iÎ[x_i; x_i+1], то m_i£f(z_i)£M_i

Определение. Суммы вида = и S= M_iDx_i называются нижней и верхней суммами Дарбу функции f(x) на [a, b].

Замечание. При любом разбиении промежутка [a, b]. любая интегральная сумма будет заключена между верхней и нижней суммами Дарбу.

£ f(z_i)Dx_i £ S

Теорема. (Условие существования интеграла). Для существова­ния определённого интеграла необходимо и достаточно, чтобы

(S- ) = 0

На основании этой теоремы устанавливаются классы интегри­руемых функций.

1. Всякая непрерывная на [a, b] функция интегрируема на этом промежутке.

2. Всякая ограниченная на [a, b] функция, имеющая конечное число точек разрыва интегрируема на этом промежутке.

3. Всякая ограниченная и монотонная на [a, b] функция интегрируема на [a, b], даже если она имеет бесконечно много точек разрыва.