Метод кусочно-линейной аппроксимации

 

В этом методе в качестве аппроксимирующих функций выбирают отрезки прямых линий, которые стыкуются друг с другом.

Наиболее простой расчет получается тогда, когда аппроксимирующих отрезков немного, и они совпадают с осями координат, или им параллельны.

В этом методе порядок расчета сводится к следующему, см. р. 2.2.3.

1. Для нелинейной электрической цепи составляем систему уравнений по законам Кирхгофа. Полученная система уравнений в общем случае может быть нелинейной алгебраической, нелинейной дифференциальной или сочетать разные уравнения, включая линейные.

2. Нелинейную характеристику, входящую в уравнения, аппроксимируем отрезками прямых и записываем их линейные уравнения.

3. В исходную систему нелинейных уравнений вместо нелинейной характеристики подставляем линейную зависимость соответствующего отрезка. В этом случае нелинейная система уравнений преобразуется в систему линейных уравнений. Находим решение полученной системы уравнений, которое будет справедливо для рассматриваемого отрезка. Указанную процедуру получения решения проводим столько раз, на сколько отрезков прямых разбили исходную нелинейную характеристику.

4. Полученные для каждого отрезка решения «сшиваем» на границах отрезков.

Рис. 5.10 Рис. 5.11

Пример.

Задана электрическая цепь в виде схемы, рис. 5.10, с нелинейным элементом (диодом) D, вольтамперная характеристика которого представлена на рис. 5.11, заданы параметры линейных элементов L и r и закон изменения входного напряжения

u=U_msin (ωt).

Требуется получить законы изменения i(t), u_r(t), u_d(t) и u_L(t), используя метод кусочно-линейной аппроксимации.

Решение.

1. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа по схеме рис. 5.10

u_d+ u_L+ u_r-u=0, (5.9)

или более подробно

.

Здесь u_d(i) - нелинейная вольт-амперная характеристика диода для мгновенных значений тока и напряжения, рис. 5.11.

2. Аппроксимируем нелинейную характеристику u_d(i) двумя отрезками прямых, рис. 5.12, уравнения которых имеют вид:

отрезок 1 u_d1=r_ci, (5.10)

отрезок 2 i=0. (5.11)

 

 

Рис. 5.12

 

Здесь статистическое сопротивление r_c определяется, согласно рис. 5.12, по формуле

,

где U_a и I_a значения напряжения и тока на диоде, близкие к их наибольшим значениям, которые могут достигать на диоде при заданном входном напряжении цепи. Значения U_a и I_a можно найти, например, из следующих допущений. Пренебрежем сопротивлением диода, тогда получившаяся линейная электрическая цепь позволяет найти значение амплитуды синусоидального тока:

.

По полученному оценочному значению тока I_m^' находим U_d^', используя ВАХ, рис. 5.12.

Реальные значения тока и напряжения на диоде будут меньше значений I_m^' и U_d^', поэтому можно принять

I_a= I_m^' и U_a= U_d^'.

3. Поскольку у входного напряжения начальная фаза равна нулю

u=U_msin (ωt),

то изображающая точка на ВАХ, рис. 5.12, будет двигаться в первую половину периода по первому отрезку, а во вторую половину периода - по второму отрезку ВАХ.

Для первой половины периода Т изменения входного напряжения уравнение (5.9) с учетом подстановки (5.10) можно записать

, (5.12)

или

. (5.13)

Мы ищем закон изменения тока i(t) для установившегося режима, поэтому решим линейное дифференциальное уравнение (5.12) с помощью комплексного метода расчета. Перепишем уравнение (5.13) в символическом виде для комплексных амплитуд:

. (5.14)

 

Решим уравнение (5.14)

, (5.15)

где – комплексная амплитуда входного напряжения;

- амплитудное значение тока;

- сдвиг фаз между входным напряжением и током.

Для рассматриваемого промежутка времени найдем по закону Ома комплексные амплитуды падения напряжения на диоде, индуктивном и резистивном элементах:

 

,(5.16)

где U_md=r_cI_m, U_mL=ωLI_m и U_mr=rI_m.

 

От комплексных амплитуд соотношений (5.15) и (5.16) перейдем к мгновенным значениям токов и напряжений:

(5.17)

 

Найдем в общем виде законы изменения тока и падения напряжения на всех элементах цепи для полупериода, когда изображающая точка на ВАХ, рис. 5.12, будет двигаться по второму отрезку.

Запишем уравнение (5.9) с учетом уравнения (5.11)

 

u_d(t)=U_msin(ωt). (5.18)

 

Дополним соотношение (5.17) для второго полупериода

 

i(t)=0, u_L(t)=0 и u_r(t)=0. (5.19)

 

Состыкуем полученные в общем виде решения. Момент времени перехода изображающей точки с первого отрезка на второй отрезок ВАХ не соответствует половине полупериода ,а обратный переход не соответствует моменту времени,равного периоду t=T,т.к. ток отстает по фазе от входного напряжения на угол , см. соотношения (5.17). На рис. 5.13 показаны графики зависимостей при t [0,T]. Моменты времени перехода изображающей точки с второго отрезка ВАХ на первый и с первого на второй обозначены как t₁ и соответственно. Указанные моменты времени перехода получены из следующих соображений.

Изображающая точка на ВАХ, рис. 5.12, попадает в нулевую точку в момент времени t₁, когда ток принимает нулевое значение, согласно (5.17), имеем

I_m sin(ωt₁-φ)=0,

тогда

ωt₁- =0,

отсюда

.

Рис. 5.13

 

Время движения изображающей точки по первому участку ВАХ, рис. 5.12, начинается с момента времени t₁ и продолжается до момента времени ,при этом будут справедливы соотношения (5.17). В момент времени t₂ указанная изображающая точка переходит с первого отрезка ВАХ на второй отрезок, где для времени tє[t₂, T] будет справедлив закон изменения

i=0, u_L=0, u_r=0 и u_d=U_msin(ωt),

а на отрезке времени tє[T, T + t₁], что соответствует на рис. 5.13 отрезку времени [0, t₁], изображающая точка на рис. 5.12 будет находиться в нулевой точке, т.е. на стыке второго и первого отрезков. При этом законы изменения тока и напряжения на элементах цепи будут

i=0, u_d=0, u_r=0 и u_L=U_msin(ωt),

согласно уравнения (5.9), для точки стыка второго и первого отрезков.

Ясно, что реальные кривые будут несколько отличаться от приведенных около точек стыка, т.е. вблизи точек t₁ и t₂ за счет переходного процесса, которым мы пренебрегли.