Правила преобразований нечетких высказываний

Правило преобразования конъюнктивной формы

Справедливо выражение:
<a есть a' и b есть b'>Þ<(a, b) есть (a'Çb')>.
Здесь Þ - знак подстановки, a'Çb' - значение лингвистической переменной (a, b), соответствующее исходному высказыванию <a есть a' и b есть b'>, которому на X´Y ставится в соответствие нечеткое множество Ç c функцией принадлежности

(x,y) = (x,y)L (x,y) = m_A(x)Lm_B(y).

Правило преобразования дизъюнктивной формы

Справедливо выражение:
<a есть a' или b есть b'>Þ<(a,b) есть (a'Èb')>, где значению (a'Èb') лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое множество È , с функцией принадлежности

(x,y) = (x,y)V (x,y) = m_A(x)Vm_B(y).

Замечание 1. Правила справедливы также для переменных вида <a, T₁, X, G₁,M₁> и <a, T₂, Y, G₂, M₂>, когда в форме значений лингвистических переменных формализованы невзаимодействующие характеристики одного и того же объекта. Например, для построения нечеткого множества высказывания < ночь теплая и очень темная > нужно использовать правило конъюнктивной формы, а для высказывания <ночь теплая или очень темная > - правило дизъюнктивной формы.

Замечание 2. Если задана совокупность лингвистических переменных {<a _i, T _i, X _i, G _i, M _i >}, i = 1, 2,.., n, то любое составное высказывание, полученное из высказываний <a есть a'> с использованием модификаторов " очень ", " не ", " более или менее " и др. и связок " и ", " или ", можно привести к виду <a есть a'>, где a - составная лингвистическая переменная (a₁,a₂,..,a _n), a' - ее значение, определяемое (как и функция принадлежности) в соответствии с вышеуказанными правилами.

Правило преобразования высказываний импликативной формы

Справедливо выражение:
<если a есть a', то b есть b'>Þ <(a, b) есть (a'®b')>, где значению (a'®b') лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое отношение XRY на X´Y.
Функция принадлежности m_R(x,y) зависит от выбранного способа задания нечеткой импликации.

Способы определения нечеткой импликации

Будем считать, что заданы универсальные множества X и Y, содержащие конечное число элементов. Под способом определения нечеткой импликации " если А, то В" (где А и В нечеткие множества на X и Y соответственно) будем понимать способ задания нечеткого отношения R на X´Y, соответствующего данному высказыванию.
С целью обоснованного выбора определения нечеткой импликации, японскими математиками Мидзумото, Танака и Фуками было проведено исследование всех известных по литературе определений (плюс предложенные авторами). Рассмотренные определения задавали следующие нечеткие отношения для высказывания "если А, то В":

1. R_m = (A´B)È( ´Y)
m_Rm(x,y) = (m_A(x)L m_B(y)) V (1 - m_A(x));

2. R_a = ( ´Y)Å(X´B)
m_Ra(x,y) = 1 L (1-m_A(x) + m_B(y));

3. R_c = A´B
m_Rc(x,y) = m_A(x)L m_B(y);

4. R_s = A´Y X´B
m_Rs(x,y) = ;

5. R_g = A´Y X´B
m_Rg(x,y) = ;

6. R_sg = (A´Y X´B) Ç ()
;

7. R_gg = (A´Y X´B) Ç ()
;

8. R_gs = (A´Y X´B) Ç ()
;

9. R_ss = (A´Y X´B) Ç ()
;

10. R_b = ( ´Y)È(X´B)
m_Rb(x,y) = (1-m_A(x)) Ú m_B(y);

11. Rà = A´Y X´B
;

12. R· = A´Y X´B

13. R_* = A´Y X´B
m_R*(x,y) = 1 - m_A(x)+ m_A(x)× m_B(y);

14. R_# = A´Y X´B
m_R#(x,y)=(m_A(x)Ù m_B(y))Ú ((1 - m_A(x)) Ù(1 - m_B(y)) Ú(m_B(y) Ù(1 - m_A (x));

15. RÑ = A´Y X´B

Правилом вывода являлось композиционное правило вывода с использованием (max-min)-композиции.
В качестве значений на входе системы рассматривались:
A' = A;
A' = "очень А"= А², m_A^0,5(x) = m_A(x)²;
A' = "более или менее А" = А^0,5 m_A^0,5(x)= m_A(x)^0,5;
A' = m_A(x)^0,5, (x) = 1 - m_A (x).
Приведем таблицу итогов исследования. В ней символ "0" означает выполнение соответствующей схемы вход-выход, символ "x" - невыполнение. Следствие "неизвестно" (Н) соответствует утверждению: "если x=A, то нельзя получить никакой информации об y".
В данной таблице первая графа -"Посылка", вторая -"Следствие".

Rm

Ra

Rc

Rs

Rg

Rsg

Rgg

Rgs

Rss

Rb

Rà

R·

R*

R#

RÑ

A

B

x

x

x

x

x

x

x

x

A2

B2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

A2

B

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

A0,5

B0,5

x

x

x

x

x

x

x

x

x

A0,5

B

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Н

x

x

x

x

x

x

x

A

B

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Кроме ответа о выполнении соответствующей схемы (0 или х),авторами исследованы явные выражения для функций принадлежности следствий по каждому из вариантов определения нечеткой импликации, на основе чего ими был сформулирован вывод:

- R_m и R_a не могут быть использованы;
- R_c может использоваться частично; - R_s, R_g, R_sg, R_gg, R_gs, R_ss рекомендованы к использованию;
- R_b, Rà, R·, R_*, R_#, RÑ не рекомендованы к использованию.