Волновые уравнения

Оптоволокно обладает цилиндрической симметрией, поэтому любая точка внутри волокна определяется тремя координатами: r – радиусом, относительно выделенной нулевой точки на оптической оси, углом φ; между оптической осью и радиусом-вектором r, и координатой z, являющейся проекцией рассматриваемой точки на оптическую ось.

Волновое уравнение (без учета гармонической составляющей с круговой частотой ω;) для рассматриваемых векторов светового поля, например, электрического вектора E имеет вид:

, (63)

где k² = k ₀² n ², k ₀=2π/ λ;₀ – волновое число в вакууме, λ;₀ – длина световой волны в вакууме.

Рассмотрим световые волны, распространяющиеся вдоль оптической оси. В этом случае они должны иметь следующее функциональное представление:

, (64)

,(65)

где параметр β; – константа распространения, определяемая из граничных условий световых полей на границе сердцевина волокна – оболочка. Обращаясь к системе уравнений Максвелла, можно записать следующие соотношения для компонент электрического и магнитного векторов светового поля в цилиндрических координатах:

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

. (71)

Преобразовывая эти уравнения, можно выразить поперечные компоненты поля E_r, E_φ, H_r и H_φ через продольные компоненты E_z и H_z:

(72)

(73)

(74)

, (75)

где q ²= ω;² μ;₀²(ε ε;₀)²- β;²= k ²- β;².

Подставляя (74) и (75) в (71), получаем:

(76)

(77)

Заметим, что (76) и правые части (72)-(75) содержат только E_z или H_z компоненты поля. Это подразумевает, что продольные компоненты E и H несвязанны между собой и могут выбираться произвольно, при условии, что (76)-(77) и (72)-(74) удовлетворяются одновременно. Если граничные условия не ведут к связыванию между компонентами поля, то или E_z =0, или H_z =0. Когда E_z =0, то такие моды называются поперечными электрическими, или TE -модами, когда H_z =0, то они называются поперечными магнитными, или TM -модами. В принципе, могут существовать и гибридные моды, если граничные условия это позволяют. Гибридные моды существуют тогда, когда H_z и E_z имеют ненулевые значения. В зависимости от того, какая компонента поля превалирует в этом случае, имеются поперечные TEM или THM гибридные моды распространения света в оптоволокне.