Частотный метод анализа ЛЭЦ

При передаче информации по каналам связи в процессе преобразования сигналов в различных устройствах используют периодические несинусоидальные и непериодические (импульсные) воздействия.

Методы анализа цепей, находящихся под воздействием таких сигналов, базируются на спектральном (частотном) представлении этих сигналов.

Спектральное представление воздействий – это разложение воздействий на сумму гармонических составляющих с различными частотами.

Периодические несинусоидальные воздействия представляются в виде ряда Фурье

. (8.7)

Слагаемые ряда Фурье представляют собой гармонические колебания с частотами kw₁(k=1,2…). Поэтому периодическое несинусоидальное воздействие – это результат наложения бесконечно большого числа гармонических колебаний с частотами w₁, 2w₁, 3w₁, … с амплитудами А_1m, А_2m, А_3m, … и начальными фазами y₁, y₂, y₃

Совокупность частотных параметров А_km образует амплитудный спектр АЧС (рис. 8.7, а), y_k - фазовый спектр ФЧС (рис. 8.7, б). Спектры периодических несинусоидальных воздействий – дискретные (линейчатые).

Рис. 8.7. Амплитудный а) и фазовый б) спектры периодических несинусоидальных сигналов.

Непериодические воздействия могут быть представлены в виде наложения гармонических составляющих с помощью интеграла Фурье

, (8.8)

где .

С помощью интеграла Фурье непериодические воздействия представляются как результат наложения бесконечно большого числа бесконечно близких по частоте гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами.

Функцию F(jw)=F(w)e^jj(w) называют спектром непериодическоговоздействия, F(w) - спектральной плотностью амплитуд (амплитудный спектр) (рис. 8.8а), j(w) - спектром фаз (рис. 8.8б)

Рис. 8.8. Пример амплитудного а) и фазового б, спектров непериодического сигнала.

Представление периодических несинусоидальных и непериодических воздействий в виде суммы гармонических колебаний позволяет применять к спектрам все методы расчёта установившихся синусоидальных процессов в ЛЭЦ.

В основе частотного метода анализа ЛЭЦ лежит использование свойств комплексного коэффициента передачи цепи. Расчёт ведётся в следующем порядке:

1. Определяем спектр воздействия

2. Определяется комплексная передаточная функция цепи H(jw)

3. Определяется спектр реакции

4. По найденному спектру определяется оригинал реакции.

Пример: Определить u₂(t) цепи рис. 8.9, а частотным методом

Рис. 8.9. Исходная схема а) и вид воздействия б).

;

;

.

По таблице «оригинал- изображение» при p=jw находим

;

.

8.5. Вопросы для самоконтроля к лекции 8

1. Что такое единичная ступенчатая и единичная импульсная функции?

2. Объясните физический смысл переходной и импульсной характеристик

3. Какова связь между переходной и импульсной характеристиками?

4. Какова последовательность расчёта ЭЦ временным методом?

5. Что понимается под спектром периодического несинусоидального воздействия?

6. Как определяются спектральные характеристики непериодического воздействия?

7. Как определить спектр на выходе цепи?

8. Разберите решение задач 8.33, 8.44, 8.53, 8.58, 7.2, 7.7, 10.10, 10.11 из [4]

9. Решите задачи 8.39, 8.42, 8.45, 8.56 из [4].

Литература: [1] с. 254-302; [3] с. 238-241, 245-277; [4] с. 257-258, 215-219, 274-277; [5] с. 391-397.

Лекция 9. Электрические фильтры

9.1. Назначение и классификация электрических фильтров

Электрическим фильтром (ЭФ) называется четырёхполюсник, пропускающий без ослабления колебания одних частот и пропускающий колебания других частот с большим ослаблением.

Полоса частот, при которых ослабление мало, называется полосой пропускания (ПП), а остальная область частот называется полосой задерживания (ПЗ). По взаимному расположению ПП и ПЗ различают 4 типа фильтров (рис. 9.1):

а) фильтры нижних частот (ФНЧ) (рис. 9.1, а);

б) фильтры верхних частот (ФВЧ) (рис. 9.1, б);

в) полосовые фильтры (ПФ) (рис. 9.1, в);

г) режекторные фильтры (РФ) (рис. 9.1, г);

Рис. 9.1. Амплитудно-частотные передаточные характеристики идеальных фильтров.

9.2. Рабочие характеристики электрических фильтров

АЧХ передаточной функции идеального ФНЧ определяется выражением

|H(jw)|² = 1 0< w < w_C

0 w>w_C (9.1)

Ослабление фильтра равно

(9.2)

 

	б)

Рис. 9.2.

Реальные фильтры имеют АЧХ отличные от идеальных. Требования к характеристикам фильтров задаются в виде допустимых пределов их изменения:

DА - максимально допустимое ослабление в ПП;

А_S - минимально допустимое ослабление в ПЗ;

f₁ - граничная частота ПП (для ПФ и РФ задаются f_-1 и f₁);

f_S – граничная частота ПЗ (для ПФ и РФ задаются f_S1 b f_S2).

Требования по ослаблению для всех типов фильтров показаны на рис. 9.3. Между ПП и ПЗ расположена переходная область (ПО).

 

Рис. 9.3. Частотные характеристики ослабления фильтров.

9.3. Полиномиальные фильтры

Идеальные частотные характеристики фильтра (рис. 9.2) заведомо нереализуемы физической цепью с конечным числом элементов. АЧХ реальных фильтров (рис. 9.3) могут лишь приближаться к ним с той или иной степенью точности в зависимости от сложности схемы фильтра. Поэтому необходимо решить задачу аппроксимации, т.е. найти такую функцию, достаточно точно воспроизводящую требуемую характеристику.

На практике эта задача решается с помощью:

1. полиномов Баттерворта – получают фильтры с максимально плоскими характеристиками ослабления (фильтры Баттерворта);

2. полиномов Чебышева – получают фильтры с равноволновыми характеристиками ослабления в ПП (фильтры Чебышева).

Фильтром Баттерворта (ФБ) называется фильтр, у которого ослабление монотонно возрастает и на границах ПП DA=3дБ. Передаточная функция ФБ определяется выражением

, (9.3)

где B_n (p) -полином Баттерворта порядка n;

a_n,…, a_n-1 - положительные вещественные числа.

, где

. (9.4)

а) б)

Рис. 9.4. Амплитудно-частотные характеристики ФНЧ Баттерворта

Крутизна частотных характеристик ФБ зависит от степени n (порядка фильтра). Чем выше порядок фильтра, определяемый числом реактивных элементов, тем круче идёт характеристика в ПЗ и тем меньше ослабление в ПП.

Фильтром Чебышева (ФЧ) называется фильтр, у которого ослабление в ПП имеет колебательный характер с амплитудой, не превышающей DА=0,01¸2 дБ, а в ПЗ монотонно возрастает с крутизной, большей чем у ФБ такого же порядка.

Передаточная функция ФЧ определяется выражением

(9.5)

где T_n(p) - полином Чебышева порядка n

|H(jw)|²= (9.6)

а) б)

Рис. 9.5. Амплитудно-частотные характеристики ФНЧ Чебышева:

а) ослабления, б) модуля передаточной функции.

Число экстремальных точек в ПП у ФЧ равно порядку фильтра.

Схемы ФБ и ФЧ порядка n одинаковы, но различаются значениями элементов.

Рис. 9.6. Схемы ФНЧ Баттерворта и Чебышева а) с Т-образным входом б) с П-образным входом.

9.4. Расчёт полиномиальных фильтров

Полиномиальные фильтры в зависимости от особенностей их применения могут быть реализованы в виде пассивных LC – фильтров или активных RC - фильтров. Рассмотрим расчёт пассивных LC - фильтров.

При расчёте фильтров по рабочим параметрам применяется нормирование элементов рассчитываемой схемы. Нормирование осуществляется относительно сопротивления нагрузки и граничной частоты ПП, т.е. и .

В настоящее время общепризнанной является методика расчёта фильтров заключающаяся в том, что требования к заданному фильтру преобразуются в требования к нормированному ФНЧ - прототипу.

ФНЧ – прототипом называется ФНЧ с нормированными значениями сопротивления и частоты, равными единице. Расчёт фильтров можно выполнить аналитическим и табличным методами.

Для сложных фильтров большого порядка расчёт аналитическим методом очень трудоёмок. Для наиболее часто используемых фильтров составлены подробные таблицы, упрощающие расчёт. В них приведены схемы и значения элементов для ФНЧ – прототипа n=3¸10.

9.5. Табличный метод расчёта фильтров

Рассмотрим порядок расчёта фильтров табличным методом:

1. Нахождение нормирующей частоты фильтра

Тип фильтра	ФНЧ	ФВЧ	ПФ	РФ

2. Нахождение нормированной граничной частоты полосы задерживания

Тип фильтра	ФНЧ	ФВЧ	ПФ	РФ

3. Нахождение порядка ФНЧ – прототипа

Тип фильтра	Фильтр Баттерворта	Фильтр Чебышева
n³

Порядок n можно также определить по справочнику [5], исходя из требований: на частоте W_S A³A_S, а DA£ DA _{заданного при W=1}

4. Нахождение по таблицам [5] нормированных значений элементов ФНЧ - прототипа и его схемы. Порядок фильтра совпадает с числом реактивных элементов.

Рис. 9.7. Схемы ФНЧ- прототипа а) с Т-образным входом б) с П-образным входом.

5. Нахождение коэффициентов денормирования по формулам

; .

6. Переход от схемы ФНЧ - прототипа к схеме заданного фильтра и определение значений его элементов.

Подробные примеры расчёта фильтров приведены в [8].

ФНЧ- прототип	ФНЧ	ФВЧ	ПФ	РФ

Вопросы для самоконтроля к лекции 9

1. Дайте определение электрического фильтра

2. Приведите классификацию фильтров по диапазону пропускаемых частот

3. Что называется порядком фильтра?

4. Что означает нормирование по частоте, по сопротивлению? Как оно используется при расчёте фильтров?

5. Дайте определение полиномиального фильтра, приведите примеры их схем

6. Как влияет увеличение порядка фильтра на его частотную характеристику ослабления?

7. Сравните частотные характеристики ослабления фильтров Баттерворта и Чебышева. Каковы их достоинства и недостатки

8. Как перейти от ФНЧ - прототипа к ФВЧ, ПФ, РФ?

9. Разберите решение задач 15.1, 15.5, 15.7, 15.9, 15.10, 15.12 из [4]

10. Решите задачи 15.2,15.11,15.13 из [4].

Литература: [1] с. 444-463; [2] с. 208-231; [4] с. 413-425; [5] с. 414-430; [8].

Литература

1. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей: Учебник для вузов. – М.: Радио и Связь, 1986. - 544 с.

2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Круг Б.И. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для вузов. – М.: Радио и Связь, 1989. - 525 с.

3. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высшая школа, 1990. - 544 с.

4. Добротворский И.Н. Теория электрических цепей: Учебник для техникумов. – М.: Радио и Связь, 1990. - 472с.

5. Ханзел Г. Справочник по расчёту фильтров. - М.: Советское радио, 1974. - 288 с.

6. Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сборник задач и упражнений. Учебное пособие для вузов. – М.: Радио и Связь, 1989. - 328 с.

7. Дмитриев В.Н., Зелинский М.М. Теория электрических цепей. Конспект лекций. Часть 1. Ташкент: ТЭИС. 2000. - 83 с.Часть 2. Ташкент: ТЭИС. 2000. - 91 с.

8. Белова Л.Н.,Дмитриев В.Н., Теория электрических цепей. Задания и методические указания к выполнению курсовой работы по теме “Расчет электрических фильтров”. Для студентов заочного факультета, обучающихся по направлению В522300 - <Телекоммуникации>. Ташкент: ТЭИС.-2000.- 84 с.

Содержание

Введение ……………………………………………………………………..……….…. 3

Лекция 1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ………………………………..….………………………. 4

1.1. Определение электрических цепей. Понятие тока, напряжения и ЭДС …. 4

1.2. Элементы электрических цепей и их свойства …………….………………. 5

1.3. Электрическая схема и ее элементы ……………………………………..…. 9

1.4. Виды соединений элементов ЭЦ ………………………………………...… 11

1.5. Законы Кирхгофа …………………………………………………………… 12

1.6. Закон Ома ……………………………………………………..…………….. 14

1.7. Вопросы для самоконтроля к лекции 1 ……………………………………… 15

Лекция 2. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА …………….…. 16

2.1. Определение и порядок расчета цепей постоянного тока ………………... 16

2.2. Расчет резистивных ЛЭЦ …………………………………………………… 18

2.3. Метод контурных токов ………………………………….…………………. 19

2.4. Метод узловых напряжений …………..………………..….……………….. 21

2.5. Вопросы для самоконтроля к лекции 2 ……………………………………. 23

Лекция 3. ЛЭЦ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ ………………....…... 24

3.1. Гармонические колебания и их описание ………………………….……… 24

3.2. Действующее значение периодической функции ……………………...…. 25

3.3. Представление гармонических колебаний векторами ….……………….... 25

3.4. Связь между мгновенными значениями напряжения и тока

на элементах цепи …………………………………..………………….……….... 26

3.5. Последовательное соединение элементов R, L, C ……………….…………30

3.6. Вопросы для самоконтроля к лекции 3 ………………………………....…. 32

Лекция 4. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ

ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА …………………………………………..………………33

4.1. Символическое изображение синусоидальных функций

комплексными величинами ……………………………………….…………….. 33

4.2. Изображение производной и интеграла от синусоидальной функции …... 35

4.3. Комплексные сопротивления и проводимость …………………………..... 36

4.4. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме ………………………..…. 37

4.5. Выражение мощности в комплексной форме. Баланс мощностей ……..... 39

4.6. Условие передачи максимальной мощности от источника в нагрузку ….. 40

4.7. Вопросы для самоконтроля к лекции 4 ………………….…………….…... 41

Лекция 5. ПРОСТЕЙШИЕ ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ ………….….. 43

5.1. Комплексная передаточная функция ……………………….…………….... 43

5.2. Явление резонанса и его значение в радиотехнике и электросвязи ……... 45

5.3. Последовательный колебательный контур ……………….…………….…. 46

5.4. Виды расстроек контура ……………………………………………..….….. 47

5.5. Частотные характеристики последовательного колебательного контура. 48

5.6. Полоса пропускания ……………………………………………………....… 49

5.7. Вопросы для самоконтроля к лекции 5 ……………………………………. 50

Лекция 6. ПереходнЫе процессы в ЛЭЦ ……………………………………. 51

6.1. Понятие о переходном процессе …………………………………………… 51

6.2. Законы коммутации …………………………………………………………. 51

6.3. Классический метод расчёта переходных процессов …………………….. 52

6.4. Способы составления характеристического уравнения ……………….….. 53

6.5. Порядок расчёта переходных процессов классическим методом ………... 54

6.6. Включение цепи RL на постоянное напряжение …………………………. 54

6.7. Включение цепи RC на постоянное напряжение …………………………. 56

6.8. Вопросы для самоконтроля к лекции 6 ……………………………………. 57

Лекция 7. Операторный метод расчёта переходных процессов.. 58

7.1. Преобразования Лапласа …………………………………………………… 58

7.2. Некоторые свойства преобразования Лапласа ……………………………. 58

7.3. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме …………………………… 59

7.4. Определение оригинала функции по его изображению ………………….. 60

7.5. Порядок расчёта переходных процессов операторным методом ………... 61

7.6. Операторная передаточная функция ………………………………………. 63

7.7. Вопросы для самоконтроля к лекции 7 ………………………………….… 65

Лекция 8. Анализ ЛЭЦ при импульсных воздействиях ………..….… 66

8.1. Единичная и импульсная функции ………………………………………… 66

8.2. Переходная и импульсная характеристики ………………………………... 66

8.3. Временной метод анализа ЛЭЦ ……………………………………….……. 68

8.4. Частотный метод анализа ЛЭЦ …………………………………………….. 70

8.5. Вопросы для самоконтроля к лекции 8 ……………………………………. 73

Лекция 9. Электрические фильтры ………………………………………...… 74

9.1. Назначение и классификация электрических фильтров ………………….. 74

9.2. Рабочие характеристики электрических фильтров ………………………... 74

9.3. Полиномиальные фильтры ……………………………………………….… 76

9.4. Расчёт полиномиальных фильтров ……………………………………….… 78

9.5. Вопросы для самоконтроля к лекции 9 ……………………………………. 80

Литература …………………………………………………………………………….. 81

Белова Л.Н. «Теория электрических цепей» Конспекты лекций для студентов заочного факультета, обучающихся по направлениям образования: 5222000:<Радиотехника>, 5222100: <Радиосвязь, радиовещание, телевидение>, 5222200: <Телекоммуникации> Ташкент: ТЭИС. 2002.-94 с.

Печатается по решению научно-методического совета ТЭИС в соответствии с планом издания учебно-методических документов в 2001/2002 учебном году.

Ответственный редактор: доцент М.М. Зелинский

Рецензент: проф. Соколов В.К.

Корректор: Халимова Р.С.