ТОЭ часть III.Расчетное задание № 2 для энергетических специальностей.
Расчет электростатического поля двухпроводной заряженной линии в заземленном проводящем туннеле численным методом сеток. Программа задания
1. Для заданного варианта задания рассчитать распределение потенциалов от двухпроводной заряженной линии при отсутствии проводящего туннеля в узловых точках сетки, нанесенной на сечение туннеля (рисунок 1). При расчете принять значение . 2. Найти граничные значения потенциалов на поверхности туннеля от индуцированных зарядов на нем. 3. Рассчитать методом сеток распределение потенциала внутри туннеля в узлах сетки от индуцированных зарядов экрана. 4. Найти результирующее распределение потенциала от двухпроводной заряженной линии в проводящем туннеле при заданном напряжении между проводами. Определить линейную плотность заряда на линии τ. 5. По результатам расчета построить эквипотенциальную линию, проходящую через заданную точку сетки (по варианту задания) и рассчитать напряженность электрического поля в этой точке. Номер варианта задания задается преподавателем
Таблица 1. Варианты заданий
Рисунок 1 - Сечение туннеля с нанесенными узловыми точками сетки
а=90см; b=90см; U=1000В.
Методические указания к заданию Расчет плоскопараллельного электростатического поля от двух заряженных осей, расположенных внутри прямоугольного проводящего каркаса (туннеля) сводится к решению краевой задачи Дирихле для электростатического потенциала (рисунок 2). Рисунок 2 – Металлический заземленный каркас с расположенными внутри заряженными осями + τ, - τ.
Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа в области S, из которой исключаются сечения проводов S 1 и S 2. На границах области задано известное распределение потенциала: на контуре L потенциал равен нулю (проводящий каркас туннеля заземлен); на поверхности проводов S 1 и S 2 известны потенциалы проводов φ 1 и φ 2, такие, что разность этих потенциалов равна напряжению между проводами: U = φ 1 - φ 2, Решение этой задачи рационально проводить по методу наложения, от зарядов на проводах + τ, -τ при отсутствии экрана (φ τ(М)) плюс от индуцированных зарядов на границе экрана L при отсутствии заряженных осей (φ 0(М)).
(1) Электростатическое поле от двухпроводной заряженной линии рассчитывается по известной формуле , где r 1 – расстояние до точки М от положительно заряженной оси; r 2 – расстояние до точки М от отрицательно заряженной оси. Если в (1) точку М поместить на контур L (точка М становится точкой Q), то получим , откуда
(2)
Таким образом, для расчета второго слагаемого выражения (1) следует решить краевую задачу Дирихле при известном граничном распределении потенциала В задании эту задачу предлагается решить численным методом сеток. В теории потенциалов функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа называемые гармоническими, обладают рядом свойств. Одно из них называется теорема о среднем. По этому свойству потенциал в любой точке, где он удовлетворяет уравнению Лапласа, равен среднеарифметическому от потенциалов точек, расположенных на сфере с центром в этой точке. Для плоскопараллельных полей сфера заменяется окружностью (рисунок 3).
Рисунок 3 – Пояснение к теореме о среднем
Результат вычисления по теореме не изменится, если потенциал в точке М вычислить не по всем точкам окружности, а, например, по четырем точкам, расположенным симметрично 1,2,3,4. . (3) Второе свойство гармонической функции потенциала заключается в том, что значения потенциала во внутренних точках области не могут быть больше наибольшего и меньше наименьшего, чем в граничных точках на L. Это теорема о максимуме и минимуме гармонической функции. Используя свойства потенциала гармонических функций, численный метод расчета сводится к следующему: 1. Задаются произвольным распределением потенциала внутри области (сечения S) так называемое нулевое приближение потенциала. При этом следует учитывать второе свойство потенциала о максимуме и минимуме гармонической функции. 2. Используя теорему о среднем, пересчитать значения потенциалов во внутренних точках области S по формуле (3) (первое приближение потенциала). При таком расчете значения потенциалов на границе области L остаются неизменными. 3. Сравнить значения потенциалов в каждой точке области S для следующего и предыдущего приближения. Если эти значения отличаются друг от друга более чем на 1% хотя бы в одной точке области S, то процесс пересчета потенциалов следует продолжить до обеспечения заданной погрешности вычисления потенциалов ε. (Если ε =0.01, то это соответствует 1% погрешности). Из теории численных методов решения уравнений Лапласа известно, что вышеописанный итерационный процесс сходится к единственному решению уравнения. Для реализации метода сеток на область S следует нанести сетку, в узлах которой и будет рассчитываться потенциал (рисунок 1 или рисунок 4). На первом этапе расчета распределения потенциала целесообразно принять и провести расчеты с учетом этого условия. При численном расчете потенциала с помощью ЭВМ количество узлов сетки брать 100. При расчете вручную можно укрупнить сетку до 25 узлов (рисунок 4). Результаты расчета и приближения (итерации) следует привести на шаблонах сетки, выписав числовые значения рядом с соответствующей точкой сетки. Рисунок 4 – Расчетная область для реализации метода сеток вручную. Результирующее распределение потенциала, вычисленное по (1), как наложение значений и , также выписать на шаблоне сетки. Вычислить значение разности потенциалов точек, через которые проходят оси . Сравнить значение с исходным (по условию задания) U. Определить коэффициент пропорциональности и найти линейную плотность зарядов проводов из условия пропорционального увеличения плотности зарядов. Поскольку (принято на начальном этапе решения), то Используя коэффициент пропорциональности k, пересчитать значения потенциалов в узлах сетки при заданном по условию задания напряжении между заряженными осями U. Вычислить истинные значения потенциалов в узлах сетки и выписать их на шаблон сетки. По истинным значениям потенциалов рассчитать составляющие вектора напряженности электростатического поля по осям X и Y в заданной точке сечения туннеля (по условию задания). Известно, что вектор напряженности электрического поля определяется через потенциал этого поля φ по формуле Дифференциальная операция градиент в декартовой системе координат представляется в виде где - единичные орты (векторы) осей декартовой системы X и Y. Следовательно Для численного расчета составляющих Ех и ЕY следует вычислить приращение потенциала в заданной точке Р по осям X и Y (рисунок 5). Рисунок 5 – К вычислению вектора напряженности электрического поля в заданной точке
Отложив в масштабе вычисленные составляющие Ех и ЕY следует нарисовать вектор напряженности в заданной точке Р. На рисунке 5 для примера представлено изображение вектора при вычисленных отрицательных значениях (Ех <0 и ЕY <0)составляющих. Величина напряженности (модуль вектора) определяется по составляющим Ех и ЕY по теореме Пифагора Для построения эквипотенциальной линии с потенциалом равным потенциалу точки, заданной по условию задания, следует нанести на сетку с выписанными значениями истинных потенциалов и другие точки, соответствующие этому потенциалу. Искать точки следует, используя линейную интерполяцию между узловыми точками сетки. Например, чтобы найти точку с потенциалом равным 20В между узлами с потенциалами равными 10В и 50В (рисунок 6), следует разбить участок на четыре равные части (10В, 20В, 30В, 40В, 50В) и взять точку вправо от узла 10В на одно разбиение. Рисунок 6 – Линейная интерполяция между узловыми точками сетки.
Интерполяцию можно проводить как по направлению осей Х и Y, так и по диагональным направлениям узловых точек. Все полученные точки равного потенциала следует соединить плавной (лекальной) линией, которая и будет являться эквипотенциалью.
|