ТОЭ часть III.Расчетное задание № 2 для энергетических специальностей.
Расчет электростатического поля двухпроводной заряженной линии в заземленном проводящем туннеле численным методом сеток. Программа задания
1. Для заданного варианта задания рассчитать распределение потенциалов от двухпроводной заряженной линии при отсутствии проводящего туннеля в узловых точках сетки, нанесенной на сечение туннеля (рисунок 1). При расчете принять значение 2. Найти граничные значения потенциалов на поверхности туннеля от индуцированных зарядов на нем. 3. Рассчитать методом сеток распределение потенциала внутри туннеля в узлах сетки от индуцированных зарядов экрана. 4. Найти результирующее распределение потенциала от двухпроводной заряженной линии в проводящем туннеле при заданном напряжении между проводами. Определить линейную плотность заряда на линии τ. 5. По результатам расчета построить эквипотенциальную линию, проходящую через заданную точку сетки (по варианту задания) и рассчитать напряженность электрического поля в этой точке. Номер варианта задания задается преподавателем
Таблица 1. Варианты заданий
Рисунок 1 - Сечение туннеля с нанесенными узловыми точками сетки
а=90см; b=90см; U=1000В.
Методические указания к заданию Расчет плоскопараллельного электростатического поля от двух заряженных осей, расположенных внутри прямоугольного проводящего каркаса (туннеля) сводится к решению краевой задачи Дирихле для электростатического потенциала (рисунок 2).
Рисунок 2 – Металлический заземленный каркас с расположенными внутри заряженными осями + τ, - τ.
Потенциал U = φ 1 - φ 2, Решение этой задачи рационально проводить по методу наложения, от зарядов на проводах + τ, -τ при отсутствии экрана (φ τ(М)) плюс от индуцированных зарядов на границе экрана L при отсутствии заряженных осей (φ 0(М)).
Электростатическое поле от двухпроводной заряженной линии рассчитывается по известной формуле
где r 1 – расстояние до точки М от положительно заряженной оси; r 2 – расстояние до точки М от отрицательно заряженной оси. Если в (1) точку М поместить на контур L (точка М становится точкой Q), то получим
откуда
Таким образом, для расчета второго слагаемого выражения (1) следует решить краевую задачу Дирихле при известном граничном распределении потенциала
В задании эту задачу предлагается решить численным методом сеток. В теории потенциалов функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа называемые гармоническими, обладают рядом свойств. Одно из них называется теорема о среднем. По этому свойству потенциал в любой точке, где он удовлетворяет уравнению Лапласа, равен среднеарифметическому от потенциалов точек, расположенных на сфере с центром в этой точке. Для плоскопараллельных полей сфера заменяется окружностью (рисунок 3).
Рисунок 3 – Пояснение к теореме о среднем
Результат вычисления по теореме не изменится, если потенциал в точке М вычислить не по всем точкам окружности, а, например, по четырем точкам, расположенным симметрично 1,2,3,4.
Второе свойство гармонической функции потенциала заключается в том, что значения потенциала во внутренних точках области не могут быть больше наибольшего и меньше наименьшего, чем в граничных точках на L. Это теорема о максимуме и минимуме гармонической функции. Используя свойства потенциала гармонических функций, численный метод расчета сводится к следующему: 1. Задаются произвольным распределением потенциала внутри области (сечения S) так называемое нулевое приближение потенциала. При этом следует учитывать второе свойство потенциала о максимуме и минимуме гармонической функции. 2. Используя теорему о среднем, пересчитать значения потенциалов во внутренних точках области S по формуле (3) (первое приближение потенциала). При таком расчете значения потенциалов на границе области L остаются неизменными. 3. Сравнить значения потенциалов в каждой точке области S для следующего и предыдущего приближения. Если эти значения отличаются друг от друга более чем на 1% хотя бы в одной точке области S, то процесс пересчета потенциалов следует продолжить до обеспечения заданной погрешности вычисления потенциалов ε. (Если ε =0.01, то это соответствует 1% погрешности). Из теории численных методов решения уравнений Лапласа известно, что вышеописанный итерационный процесс сходится к единственному решению уравнения. Для реализации метода сеток на область S следует нанести сетку, в узлах которой и будет рассчитываться потенциал На первом этапе расчета распределения потенциала
Рисунок 4 – Расчетная область для реализации метода сеток вручную. Результирующее распределение потенциала, вычисленное по (1), как наложение значений
Сравнить значение
и найти линейную плотность зарядов проводов из условия пропорционального увеличения плотности зарядов.
Поскольку
Используя коэффициент пропорциональности k, пересчитать значения потенциалов в узлах сетки при заданном по условию задания напряжении между заряженными осями U. Вычислить истинные значения потенциалов в узлах сетки и выписать их на шаблон сетки. По истинным значениям потенциалов рассчитать составляющие вектора напряженности электростатического поля по осям X и Y в заданной точке сечения туннеля (по условию задания). Известно, что вектор напряженности электрического поля
Дифференциальная операция градиент в декартовой системе координат представляется в виде
где
Для численного расчета составляющих Ех и ЕY следует вычислить приращение потенциала в заданной точке Р по осям X и Y (рисунок 5).
Рисунок 5 – К вычислению вектора напряженности
Отложив в масштабе вычисленные составляющие Ех и ЕY следует нарисовать вектор напряженности Величина напряженности (модуль вектора) определяется по составляющим Ех и ЕY по теореме Пифагора
Для построения эквипотенциальной линии с потенциалом равным потенциалу точки, заданной по условию задания, следует нанести на сетку с выписанными значениями истинных потенциалов и другие точки, соответствующие этому потенциалу. Искать точки следует, используя линейную интерполяцию между узловыми точками сетки. Например, чтобы найти точку с потенциалом равным 20В между узлами с потенциалами равными 10В и 50В (рисунок 6), следует разбить участок на четыре равные части (10В, 20В, 30В, 40В, 50В) и взять точку вправо от узла 10В на одно разбиение.
Рисунок 6 – Линейная интерполяция между узловыми точками сетки.
Интерполяцию можно проводить как по направлению осей Х и Y, так и по диагональным направлениям узловых точек. Все полученные точки равного потенциала следует соединить плавной (лекальной) линией, которая и будет являться эквипотенциалью.
|
.
удовлетворяет уравнению Лапласа в области S, из которой исключаются сечения проводов S 1 и S 2. На границах области задано известное распределение потенциала: на контуре L потенциал равен нулю (проводящий каркас туннеля заземлен); на поверхности проводов S 1 и S 2 известны потенциалы проводов φ 1 и φ 2, такие, что разность этих потенциалов равна напряжению между проводами:
(1)
,
,
(2)
. (3)
(рисунок 1 или рисунок 4).
целесообразно принять 
и провести расчеты с учетом этого условия. При численном расчете потенциала 
с помощью ЭВМ количество узлов сетки брать 100. При расчете вручную можно укрупнить сетку до 25 узлов (рисунок 4). Результаты расчета 
и приближения (итерации) 
следует привести на шаблонах сетки, выписав числовые значения рядом с соответствующей точкой сетки.
.
с исходным (по условию задания) U. Определить коэффициент пропорциональности
(принято на начальном этапе решения), то
определяется через потенциал этого поля φ по формуле
- единичные орты (векторы) осей декартовой системы X и Y. Следовательно
электрического поля в заданной точке
