Задание 3.

Составить уравнения контурных токов и узловых напряжений и решить их для численных значений: R1=R2=R3= XC1=100 Ом XL1= XL2=25 Ом   E1(t)=3coswt,В; J 1(t)=30coswt,мА; E2(t)=3coswt,В; E3(t)=5coswt, В.

 

Решение

Комплексные сопротивления элементов цепи:

(Ом)

(Ом)

(Ом)

Комплексные напряжения источников ЭДС:

(В)

(В)

(В)

Комплексный ток источника J₁:

(А).

 

Выберем контуры таким образом, чтобы только один из них проходил через источник тока:

 

Составим уравнения контурных токов в соответствии со вторым законом Кирхгофа для каждого выбранного контура, кроме второго, для которого такое уравнение не составляется, поскольку сопротивление идеального источника тока бесконечно:

Для второго контурного тока можно записать

.

Получаем следующую систему уравнений:

Подставим численные значения электрических величин:

 

Запишем первых два уравнения системы в виде расширенной матрицы:

Найдем контурные токи и по формулам Крамера:

= =

= ,

 

,

 

.

 

,

.

 

Найдем комплексные токи в ветвях цепи:

= ,

 

,

 

,

 

,

 

.

 

Мгновенные значения токов в ветвях цепи:

(А),

(А),

(А),

(А),

(А).

 

Для расчета схемы по методу узловых напряжений преобразуем источники напряжения в эквивалентные источники тока. Задающие их токи равны токам короткого замыкания ветви.

 

Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, входящих в него.

Рассчитаем собственные проводимости узлов:

,

 

,

 

.

 

Взаимная проводимость двух узлов равна сумме проводимостей всех ветвей, непосредственно соединяющих данные узлы.

Рассчитаем взаимные проводимости узлов:

,

,

.

 

Задающие токи определяются как алгебраическая сумма задающих токов источников, присоединенных одним из зажимов к -му узлу:

,

,

.

 

 

Система уравнений будет иметь следующий вид:

,

,

.

Подставим численные значения, переписав систему в матричной форме:

,

 

 

 

 

.

 

,

,

.