Определение коэффициента самоиндукции катушки

Принадлежности: исследуемая катушка, сердечник, вольтметр, амперметр, реостат, источник переменного тока.

Краткая теория. Опыты Фарадея показали, что если проводник при своем движении пересекает магнитные силовые линии, на его концах наводится (индуктируется) электродвижущая сила (ЭДС), и если такой проводник замкнуть, то в нем потечет индукционный ток. Индукционный ток всегда направлен против вызвавшего его тока, препятствуя изменению последнего.

Основной закон электромагнитной индукции имеет вид:

,

где – скорость изменения магнитного потока относительно проводника.

В случае, когда таким проводником является катушка индуктивности, при изменении силы тока в катушке возникает ЭДС самоиндукции, величина которой пропорциональна изменению силы тока в единицу времени:

.

Здесь – коэффициент самоиндукции или индуктивность.

Индуктивность зависит от формы, размеров проводника и от магнитной проницаемости окружающей проводник среды. Единицей измерения индуктивности служит Генри (Гн): индуктивностью в 1 Гн обладает такой проводник, в котором изменение силы тока со скоростью в 1 А/с вызывает ЭДС самоиндукции в 1 В.

У линейных проводников коэффициент самоиндукции мал, большими коэффициентами обладают катушки индуктивности (устройство, состоящее из большого числа витков проволоки). Сопротивление проволоки постоянному току равно и называется активным. Если такую катушку включить в цепь переменного тока, то в ней возникает ЭДС самоиндукции и индукционный ток, который препятствует изменению приложенного к катушке напряжения. Это приводит к изменению сопротивления катушки: по величине оно становится больше активного; дополнительное сопротивление называется индуктивным .

Если в цепь переменного тока включен конденсатор , то вследствие его перезарядки возникает емкостное сопротивление . Оба сопротивления и называются реактивными, поскольку они не приводят к диссипации энергии.

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов: сопротивления , индуктивности , конденсатора и источника переменного тока, подключенного к клеммам и (рис.1).

По второму правилу Кирхгофа:

,

(1)

где – падение напряжения на активном сопротивлении катушки, – напряжение на обкладках конденсатора; правая часть уравнения состоит из напряжения источника тока и ЭДС самоиндукции.

Дифференцируя уравнение (1) по времени и учитывая, что , получим:

.

Разделив это уравнение на и переобозначив коэффициенты, получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

(2)

Здесь – коэффициент затухания, – собственная частота контура, .

Рис. 1

Решение[1] неоднородного уравнения (2) сводится к решению однородного плюс решение любого частного, удовлетворяющего условиям задачи, а для установившихся колебаний практически равно частному.

Частное решение уравнения (2) можно искать в виде

,

(3)

где – разность фаз между силой тока и напряжением.

Найти производные , , подставив их значения и учитывая условие (3), решить уравнение (2). Можно использовать метод векторных диаграмм. Через все элементы схемы (рис. 1) течет один и тот же ток, поэтому на векторной диаграмме выберем направление оси токов (рис. 2) и отложим амплитудные значения напряжений, учитывая фазовые соотношения между током и напряжениями. Поскольку падение напряжения на сопротивлении синфазно с током, вектор будет совпадать с током . Векторы и направлены в противоположные друг относительно друга стороны, т.к. по фазе напряжение на конденсаторе отстает от тока на угол , а на катушке индуктивности – опережает на . Для простоты рассуждения выберем .

Рис. 2

Из векторной диаграммы легко найти амплитудное значение падения напряжения, приложенного к точкам и (рис. 1):

.

Отсюда можно найти амплитудное значение силы тока:

.

(6)

Разность фаз между током и напряжением находится по тангенсу угла вектора к оси токов:

.

Уравнение (6) представляет собой закон Ома для переменных токов. При этом величина

называется полным сопротивлением цепи.

Если цепь содержит только конденсатор (т.е. ), полное сопротивление цепи определяется величиной емкостного сопротивления

,

которое обратно пропорционально электрической емкости и круговой частоте электрического тока : при постоянном значении емкостное сопротивление изменяется от бесконечности при до нуля при .

Если в цепи имеется только катушка индуктивности (), полное сопротивление равно индуктивному

.

Зависимость индуктивного сопротивления от частоты иная. Индуктивное сопротивление равно нулю в случае постоянного тока, , и бесконечно возрастает с частотой при и постоянном значении .

Следует отметить, что решение дифференциального уравнения (2) совпадает с решением уравнения для механических колебаний. Сопоставление решений дает возможность заключить, что величина является аналогом массы и характеризует инерцию электрической цепи, емкость конденсатора является аналогом жесткости и, наконец, активное сопротивление , подобно трению, обусловливает необратимое превращение электрической энергии в теплоту.

В выражении (6) фигурируют амплитудные значения силы тока и напряжения . На практике обычные вольтметры и амперметры показывают не максимальные (амплитудные), а эффективные значения силы тока и напряжения и . Эффективные значения можно найти из мощности, выделяемой в цепи переменного тока.

Мощность, выделенная в цепи переменного тока за один период, равна:

Таким образом,

и .

(7)

В работе для определения коэффициента самоиндукции катушки используется электрическая схема, состоящая из активного и индуктивного сопротивлений (рис. 3). В этом случае, как следует из выражений (6) и (7),

,

(8)

где полное сопротивление цепи

.

Коэффициент самоиндукции катушки можно выразить из (8):

.

(9)

Видно, что для определения необходимо измерить лишь сопротивление , т.к. циклическая частота переменного тока () и сопротивление известны.