Студопедия — Объём прямого цилиндрического тела.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Объём прямого цилиндрического тела.






Пусть F – плоская фигура. Восставим в каждой точке этой фигуры перпендикуляр к содержащей её плоскости и отложим на каждом перпендикуляре отрезок длины h (все отрезки располагаются по одну сторону от плоскости). Множество точек этих отрезков образует тело L, которое называется прямым цилиндрическим телом с основание F и высотой h. Вторые концы построенных отрезков образуют фигуру F', конгруэнтную основанию F и параллельные ему.

В случае, когда F – прямоугольник, прямое цилиндрическое тело является прямоугольным параллелепипедом. Если же F – ступенчатая фигура, то L – ступенчатое тело, причём оно разлагается на прямоугольные параллелепипеды, имеющие одинаковые высоты. Объём этого ступенчатого тела равен произведению площади фигуры F на высоту тела:

(1) V (L)=S (F) h.

Докажем, что формула (1) остаётся справедливой и в более общем случае. Именно, справедливо следующее утверждение:

Теорема 1: Если плоская фигура А квадрируема, то прямое цилиндрическое тело L с основание А кубируемо, причём его объём равен произведению площади фигуры А на высоту тела:

V (L) = S (А) h.

Доказательство:

Не теряя общности, мы можем считать, что плоскость фигуры А является координатной плоскостью Оху. Так как по условию фигура А квадрируема, то для любого > 0 найдутся ступенчатые фигуры F1 и F2 такие, что F1 А F2, причём S (F2) – S (F1) < .

Построим ступенчатые тела L1 и L2 с высотой h и основаниями F1 и F2. Тогда имеем:

L1 L L2.

При этом

V (L2) - V (L1) = S (F2) h – S (F1) h = h (S (F2) – S (F1)) < h = .

Таким образом, для любого > 0 найдутся ступенчатые тела L1 и L2 такие, что

L1 L L2 и V (L2) – V (L1) < .

Поэтому тело L кубируемо. При этом, как мы видели,

S (F1) h < V (L) < S (F2) h.

С другой стороны, из неравенств S (F1) < S (А) < S (F2) вытекает, что

S (F1) h < S (А) h < S (F2) h.

Мы видим, что числа V (L) и S (А) h разделяют одни и те же множества, а именно

{ S (F1) h } и { S (F2) h },

где, напомним, F1 – ступенчатые фигуры, содержащиеся в А, а F2 – ступенчатые фигуры, содержащие А. Но эти два множества, в силу квадрируемости А, разделяются лишь одним числом. Поэтому

V (L) = S (А) h.

Формула (1) доказана для любых квадрируемых фигур А.







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 446. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗНОС ДЕТАЛЕЙ, И МЕТОДЫ СНИЖЕНИИ СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ Кроме названных причин разрушений и износов, знание которых можно использовать в системе технического обслуживания и ремонта машин для повышения их долговечности, немаловажное значение имеют знания о причинах разрушения деталей в результате старения...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Методика обучения письму и письменной речи на иностранном языке в средней школе. Различают письмо и письменную речь. Письмо – объект овладения графической и орфографической системами иностранного языка для фиксации языкового и речевого материала...

Классификация холодных блюд и закусок. Урок №2 Тема: Холодные блюда и закуски. Значение холодных блюд и закусок. Классификация холодных блюд и закусок. Кулинарная обработка продуктов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия