Понятие спрямляемой дуги.

В школьном курсе математики рассматривался вопрос о вычислении длин отрезков прямой, длины окружности, а также различных её частей. В приложениях математики возникает потребность в вычислении длин дуг произвольных кривых. Но, чтобы вычислить длину произвольной кривой, надо быть уверенным в том, что рассматриваемая кривая имеет конечную длину.

В средней школе длиной окружности называют предел последовательности периметров вписанных в окружность правильных многоугольников (при неограниченном удвоении числа сторон). Однако это определение неприменимо к произвольным кривым.

Дадим общее определение понятия длины кривой. Пусть задана жорданова кривая Г¹:

(1)

a t в.

Напомним, что функции и непрерывны на отрезке. Разобьём отрезок [ а;в ] на части числами

t₀, t₁,…, t_n: a = t₀ < t₁ < … < t_n = в.

Каждому числу t соответствует точка М_к (, ) кривой Г. Проводя отрезки М₀М₁, …, M_n-1M_n, получим ломаную линию ɣ, вписанную в кривую Г. Обозначим её длину через l (ɣ).

Определение. Жорданова кривая (1) называется спрямляемой (имеющей длину), если множество длин вписанных в эту кривую ломаных γ ограничено сверху. Точная верхняя граница множества называется длиной кривой Γ и обозначается :

. (2)

Докажем, что длина спрямляемой кривой обладает свойством аддитивности.

Пусть жорданова кривая Γ разбита на кривые и . Если эти кривые спрямляемы, то кривая Γ спрямляема, причем .

В самом деле, пусть γ – любая ломаная, вписанная в кривую Γ, и пусть М – точка, разбивающая Γ на и . Добавляя эту точку к вершинам ломаной γ, получим ломаную , длина которой не меньше длины ломаной γ, . Но ломаная состоит из двух частей и , вписанных соответственно в кривые и , причем и .

Поэтому

.

Это неравенство показывает, что число является одной из верхних границ для множества длин ломаных, вписанных в кривую Γ. Но для любого найдутся ломаные и , вписанные в и , такие, что

и .

Объединяя и , получаем ломаную γ, вписанную в Γ и такую, что

.

А это и значит, что - точная верхняя граница множества , т.е.

.