Студопедия — Свойства математического ожидания
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Свойства математического ожидания






Свойство 1. Математическое ожидание по­стоянной величины равно самой постоянной:

М (С) = С.

Доказательство. Будем рассматривать постоян­ную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р= 1. Следовательно,

М(С) = СЛ=С.

Замечание 1. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину X как дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения X; вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений X. Напри­мер, если вероятность возможного значения хг равна р то вероят­ность того, что величина СХ примет значение Cxlt также равна рг.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак математического ожидания:

М (СХ) = CM (X).


Доказательство. Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

X хх хг... хп

Р Pi Pi • • • Рп

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины СХ:

СХ Cxt Cxt ... Схп Р Pi Pi • • • Ptt Математическое ожидание случайной величины СХ:

М (СХ) = Схгрх + Сх2рг + • • • + Схпрп =

= С (хгрг + х2ра +... + хпрп) = CM (X).

Итак,

М (СХ) = CM (X).

Замечание 2. Прежде чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие воз­можные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин назы­вают взаимно независимыми, если законы распределения любого числа Из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3. Определим произведение независимых случай­ных величин X и Y как случайную величину XY, возможные зна­чения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y; вероятности возможных значе­ний произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения jtj равна рх, вероятность возможного значения ух равна gi, то вероятность возможного значения ххУ\ равна pigi .

Заметим, что некоторые произведения x,-yj могут оказаться рав­ными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если х1у2 = х3у6, то вероятность ХхУ2 (или, что то же, *3 у6) равна Р182 + Рзёь-

Свойство 3. Математическое ожидание произведе­ния двух независимых случайных величин равно произведе­нию их математических ожиданий:

M(XY) = M(X)M{Y).

Доказательство. Пусть независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения

вероятностей [1]>;:

X ххх2 Y у,у2 Р ргр3 g g,g2

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все воз­можные значения X на каждое возможное значение Y; в итоге получим xtylt x2yt, xty2 и х2у%. Учитывая заме­чание 3, напишем закон распределения XY, предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

XY х1у1 %%Ух 2 ^ чУ 2

Р Р181 Ре81 Pi8> Pig,

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

М (XY) = хху1 ■ pxgx + х2уг * p^gi + уг • pxg2 + х2у2 ■ p2g2,

Или

М (XY) = ylgl (х^ + x2p2) + y2g2 (xtp, + x2p2) =

= (*iРг + х2р2) (y1g1 + yigz) = M(X)-M (У).

Итак, M(XY) = M(X)-M(Y).

Следствие. Математическое ожидание произведе­ния нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Например, для трех случайных величин имеем:

М (XYZ) = М (XY •Z) = M (ЛГ) M(Z) = M (X) М (Y) М (Z).

Для произвольного числа случайных величин дока­зательство проводится методом математической индукции.

Пример 1. Независимые случайные величины Ли У заданы следующими законами распределения:

X 5 2 4 У 7 9 р 0,6 0,1 0,3 р 0,8 0,2

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

М(Х) = 5-0,6 + 2-0,1+4-0,3 = 4,4;

М (У) = 7-0,8 + 9-0,9 = 7,4.

Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое ма­тематическое ожидание

М (XY) — M (X) М (У) = 4,4-7,4 = 32,56.

Замечание 4. Определим сумму случайных величин X и Y как случайную величину X-\-Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным зна­чением К; вероятности возможных значений X-f -Y для независимых величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

Заметим, что некоторые суммы х-\-у могут оказаться равными между ссбой. В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если xt-\-y2 = = хгЛ-у& и вероятности этих возможных значений соответственно равны р12 и раь, то вероятность х1-\-х2 (или, что то же, х3-\-у 6) равна Р12 + РЗБ-

Следующее ниже свойство справедливо как для неза­висимых, так и для зависимых случайных величин.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М (X + Y) = М (X) + М (Y).

Доказательство. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения *>;:

X хг хг Y уг у2

Р Pi Pt 8 gi 8*

Составим все возможные значения величины X + F. Для этого к каждому возможному значению X прибавим каждое возможное значение К; получим х1 + у1, х1 + у2, х2 + уг и х2-\-у2. Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то дока­зательство проводится аналогично), и обозначим их ве­роятности соответственно через р11г р12, рг1 и р22.

Математическое ожидание величины X + F равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

^ (X ^0 = C^i "4" У1) Рп У г) Рц "4" С^а "4" У\) Р21 ”1”

“I- (-^2 “I- Уа) Рга»

*> Чтобы упростить вывод, мы ограничились лишь двумя возмож­ными значениями каждой из величин. В общем случае доказатель­ство аналогичное.

Или

М (X + К) =» хг + р) 4“ Х2 (Рп Р22) Ул. (Ри Рг 1) +

+ yt{Pl2+P2i)- (*)

Докажем, что pn + pls = рх. Событие, состоящее в том, что X примет значение х, (вероятность этого события равна pj), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X 4- У примет значение хг + уг или хг + yt (вероятность этого события по теореме сложения равна /Эц + рц), и обратно. Отсюда и следует, что р11 + р1% = р1. Аналогично доказываются равенства

Рп Р22 ~ Pi' Рп ~Ъ Р21 = Si и Pia Р22 ~ §2";

Подставляя правые части этих равенств в соотноше­ние (*), получим

М {X + Y) = {xtpx + х2рг) + {у&г + y2g%), или окончательно

М(X + У) = М(X) + М(У).

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математичес­ких ожиданий слагаемых.







Дата добавления: 2015-09-06; просмотров: 611. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны Уравнением упругой волны называют функцию , которая определяет смещение любой частицы среды с координатами относительно своего положения равновесия в произвольный момент времени t...

Медицинская документация родильного дома Учетные формы родильного дома № 111/у Индивидуальная карта беременной и родильницы № 113/у Обменная карта родильного дома...

Основные разделы работы участкового врача-педиатра Ведущей фигурой в организации внебольничной помощи детям является участковый врач-педиатр детской городской поликлиники...

Машины и механизмы для нарезки овощей В зависимости от назначения овощерезательные машины подразделяются на две группы: машины для нарезки сырых и вареных овощей...

Классификация и основные элементы конструкций теплового оборудования Многообразие способов тепловой обработки продуктов предопределяет широкую номенклатуру тепловых аппаратов...

Именные части речи, их общие и отличительные признаки Именные части речи в русском языке — это имя существительное, имя прилагательное, имя числительное, местоимение...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия