Далее для удобства записи вместо знака суммы 2i=i пишется знак У\. Например, У\т{= ^т/ = mt + mt = Nt. (=i Следует также иметь в виду, что если под знаком суммы стоит постоянная величина, то ее целесообразно выносить за знак суммы. Например, 2Ш/(Л:i—*)*= = (хг — х)2 2 Щ = (х,—х)2 N^. Найдем общую дисперсию: Оо6щ = (S mi {Х(—~Х)2 + 2 ni (х,—х)*)/п. (*) Преобразуем первое слагаемое числителя, вычтя и прибавив х1: 2 т{ (X(— х)а = 2 Щ [(х j — xj + —х)]4 ==_ = 2 mi (xi—xi)a + 2 (xx — x) 2т{ (X,— Xj) + 2mi(xi — x)2- Так как '£ml(xl — x1)* = N1D1Tp (равенство следует из соотношения D1TV= (2m/(x/~*i)4)/Wi) и в силу § 7 2 mi (х«— *i) — °. То первое слагаемое принимает вид 2^,- (х,— р + N1 (хг — х)*. (**) Аналогично можно представить второе слагаемое числителя (*) (вычтя и прибавив х2): 2М*/—*)■ = W,Darp-f-JV2(xa— х)*. (***) Подставим (**) и (***) в (*): ^общ ~ (^l^irp +^а^2гр)/^ + + (Л^ (хг — х)г + JVa (деа — х)*)/n = D B„rр + DMelKrv. Итак, ^общ “ ^ввгр "4" ^межгр* Пример, иллюстрирующий доказанную теорему, приведен в предыдущем параграфе. Замечание. Теорема имеет не только теоретическое, но и важнее практическое значение. Например, если в результате наблюдений получены несколько групп значений признака, то для вычисления общей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. С другой стороны, если совокупность имеет большой объем, то целесообразно разбить ее на несколько трупп. В том и другом случаях непосредственное вычисление ебщей дисперсии заменяется вычислением дисперсий отдельных групп, что облегчает расчеты.
|
