Отсюда среднее квадратическое отклонение.ow — У D (№) = У pq/n. Б. Интервальная оценка. Найдем доверительный интервал для оценки вероятности по относительной частоте. Напомним, что ранее (см. гл. XII, § 6) была выведена формула, позволяющая найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения не превысит положительного числа б: Р (I X —а | < б) = 2Ф (б/а), (*) *> Напомним, что случайные величины обозначают прописными, а их возможные значения—строчными буквами. В различных опытах число т появлений события будет изменяться и поэтому является случайной величиной М. Однако, поскольку через М уже обозначено математическое ожидание, мы сохраним для случайного числа появлений события обозначение т. где X — нормальная случайная величина с математическим ожиданием М(Х) — а. Если п достаточно велико и вероятность р не очень близка к нулю и к единице, то можно считать, что относительная частота распределена приближенно нормально, причем, как показано в п. A, M(W) — p. Таким образом, заменив в соотношении (*) случайную величину X и ее математическое ожидание а соответственно случайной величиной W и ее математическим ожиданием р, получим приближенное (так как относительная частота распределена приближенно нормально) равенство P(\W—р \ < 6) = 2Ф(6/<%). (**) Приступим к построению доверительного интервала (Pi, ра), который с надежностью у покрывает оцениваемый параметр р, для чего используем рассуждения, с помощью которых был построен доверительный интервал в гл. XVI, § 15. Потребуем, чтобы с надежностью у выполнялось соотношение (**): Р (| W—р | < S) = 2Ф (б/а) = у. Заменив aw через Уpq/n (см. п. А), получим P(\W— р|<6) = 2Ф(6 У~п1У~м) = 2Ф(0 = Т, где t = б У п1Уpq. Отсюда б = t У pq/n
|
