Следовательно,Ф(2КР) = (1—«)/2. Отсюда заключаем: для того чтобы найти правую границу двусторонней критической области (zKp), достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответствует значение функции, равное (1—а)/2. Тогда двусторонняя критическая область определяется неравенствами 2 < — 2Кр, 2 £кр, или равносильным неравенством |2| > zKP, а область принятия нулевой гипотезы — неравенством — гкр < Z < zKP, или равносильным неравенством 12 | < гкр. .Обозначим значение критерия, вычисленное поданным наблюдений, через 2на6л и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н0: М (X) = М (V) о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Нх\ М(Х)фМ(У), надо вычислить наблюденное значение критерия 2набл — X U =. и по таблице функции Лапласа найти D(X)/n + D(Y)/m * критическую точку по равенству Фгкр = (1—а)/2. Если \ZHa6x\<z KP—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если 12набл | > *кр—нулевую гипотезу отвергают. Пример 1. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны п = 60 н т = 50, извлеченным нз нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние *=1250 и ^=1275. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 120, D(K)=100. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н0: М(Х) = ~М (К), прн конкурирующей гипотезе Hi. М (X) Ф М (К). Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия: *~У 1250—1275,ое у D\X)/n + D (Y)/m У 120/60+ 100/50 По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М ( X ) ф М (У), поэтому критическая область — двусторонняя. Найдем правую критическую точку: Ф (2кр) = (1 —а)/2 = (1 —0,01)/2 = 0,495. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим гкр = 2,58. Так как | 2Иабл I > 2кр— нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочные средние различаются значимо. Второй случай. Нулевая гипотеза Я0: М (X)— = М (У). Конкурирующая гипотеза Ht: М ( X) > Л1 (У). На практике такой случай имеет место, если профессиональные соображения позволяют предположить, что генеральная средняя од- ной совокупности больше Ус( генеральной средней Дру- 1 с.,, гой. Например, если введено ® г*Р Усовершенствование техноло- Рис. 2в гического процесса, то естественно допустить, что оно приведет к увеличению выпуска продукции. В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости (рис. 26): Р (Z > гкр) = а. (****) Покажем, как найти критическую точку с помощью функции Лапласа. Воспользуемся соотношением (***): Р (0 < Z < гкр) + Р (Z > гкр) = 1/2. В силу (**) и (****) имеем Ф(гкр) + а= 1/2.
|
