Получим. Таким образом, достаточно знать корреляционную функцию, чтобы найти дисперсию случайной функции.Кх (/, /) = М [* (t) X (t)] = M [Л (/)!• =/5, (/). Таким образом, достаточно знать корреляционную функцию, чтобы найти дисперсию случайной функции. Пример. Задана случайная функция X(t) = Ut, где U — случайная величина, причем М (U)— 4, D (U)— 10. Найтн: а) корреляционную функцию; б) дисперсию заданной случайной функции. Решение, а) Найдем математическое ожидание: mx(t) = MlX(t)] = M (Ut) = tM (t/) = 4/. Найдем центрированную функцию: k(t) = X (t)—тх (О = Ut—4t = (U~4) t. Отсюда % — — 4) ti, *{t2) = (U-4)t2. Найдем корреляционную функцию: Кх (/ь ta) — M [Л (<!) к (/г)1 = М l(U- 4) tx (U -4) /t] = = txt, M [(U — 4)2J = txt 4 D (U) = 1 Ottti. Итак, искомая корреляционная функция б) Найдем дисперсию, для чего положим tl—t2 — ti Dx(t) = Kx(t, /)*Ю it. Итак, искомая дисперсия О* (0=10/*. Свойства корреляционной функции Свойство 1. При перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется (свойство симг метрии): Kx(tи *,)=*,(<„ О- Доказательство. По определению корреляционной функции, К At*. *i) = M [*(*,)*(**)]. Правые части этих равенств равны (математическое ожидание произведения не зависит от порядка сомножителей), следовательно, равны и левые части. Итак, *«(*!. *.) = *«(<■. к)- Замечание 1. Прибавление к случайной функции X (О неслучайного слагаемого ф (0 не изменяет ее центрированной функции: Если У(0«Х<0+ф<0. То Действительно, математическое ожидание функции Y (t) mv (t) = mx (/) + ф(/). Следовательно, f (t)-Y (/)—Щу (0 = [Х(/) + Ф(01 —(«ж (0 + ф(01 = = Х (О-"** <*) = *<')• Итак, Свойство 2. Прибавление к случайной функции X (О неслучайного слагаемого ф (/) не изменяет ее корреляционной функции: если К(0 = Х(0 + ф(0, То *„(*>. *Ш)~КЛ*1, *.)• Доказательство. В силу замечания 1 Y{t) = X{t). Отсюда У (/х) — k (tj и Y(tt) = X(tt). Следовательно, = (*,)*</,)]■; Итак, Kv(*i’ *.)• Замечание 2. При умножении случайной функции X (t) на неслучайный множитель m (/) ее центрированная функция умножается на этот же множитель: если К(/)»Л(0Ф(0. То *(/)->* (О ф<0- Действительно, математическое ожидание функции Y ( t ) туО) = М {X (0Ф(*)] = Ф(0 тх 01
|
