Выполнив умножение и вынеся неслучайные множители за знак математического ожидания, найдемRXl х, (tlt tf2) == cos t cos t M{UlU2) + + sin «Vi cos (UfV,) + sin o)8/g cos со1/1M (t/^,) -j- + sin sin (V^V^). Случайные величины Ult U2, Vlt V2 попарно не корре* лированы, поэтому их корреляционные моменты равны нулю; отсюда следует, что все математические ожидания парных произведений этих величин равны нулю. Например, корреляционный момент величин иг и Ut равен нулю: = М (UYU2) — 0; так как эти величины центрированные (см. п. 1), то М (иги2) — 0. Итак, взаимная корреляционная функция RXtx,{tlt t г) = = 0, что н требовалось доказать. Дискретный спектр стационарной случайной Функции А. Частоты — произвольные числа, количество их конечно. Пусть стационарная случайная функция X (t) может быть представлена в виде спектрального разложения П п Х(/) = 0= Sti/fCosa^ + ^.sin©,.*], (*) t=i i=i причем сохраняются допущения, указанные в начале п. 2 (см. § 1). Найдем дисперсию одной гармоники X,- (/), учитывая, что случайные величины Ut и Vt не коррели- рованы и дисперсии величин с одинаковыми индексами равны между собой: D ((/,•) = D (У,-) — Di D [X, «)] = D [Ui cos а),/ + Vi sin to,/] = D [{/,• cos to,-/] -j- -j- D \Vt sin а)(Л] = cos2 to (tD ((/,■) + sin2 <off D (1Л) = = (cos2 + sin2 to,/) Dt — Итак, D[X,(0] = O,-. (**) Таким образом, дисперсия t'-й гармоники спектрального разложения (*) равна дисперсии случайной величины Uit или, что то же, дисперсии случайной величины К,-. Найдем теперь дисперсию стационарной случайной функции X (/), приняв во внимание, что слагаемые X, ( t ) не коррелированы (см. § 1) и поэтому дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых (см. гл. XXIII, § 15, замечание 2): D [X (0] = D Г S X,. (ol = 2 D [Xt (Щ. L* = 1 J i = l Используя (**), окончательно получим D [*(/)] =2 д.. Итак, дисперсия стационарной случайной функции, которая может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник с произвольными частотами, равна сумме дисперсий составляющих ее гармоник. Дискретным спектром стационарной случайной функции X (t) вида (*•) называют совокупность дисперсий всех составляющих ее гармоник. Заметим, что поскольку каждой частоте со,- можно поставить в соответствие дисперсию Д-, то спектр можно изобразить графически: на горизонтальной оси откладывают частоты со,-, а в качестве соответствующих ординат (их называют спектральными линиями) строят дисперсии D,-. Этот дискретный спектр называют линейчатым .
|
