И алгеброй высказываний

Алгебра переключательных схем

 

Долгое время алгебра логики была известна достаточно «узкому» классу специалистов. Прошло почти 100 лет, прежде чем в 1938 году выдающийся американский математик и инженер Клод Шеннон обнаружил, что алгебра логики применима для описания самых разнообразных процессов. Например, 0 и 1 могут кодировать включенные и выключенные переключатели, высокое и низкое напряжение, годную и бракованную продукцию и т. д.

Прежде всего алгебра логики была использована для преобразования релейно-контактных и электронно-ламповых схем. Отвлекаясь от физической природы этих схем, будем называть их переключательными. Другими словами, под переключательной схемой мы будем понимать схематическое изображение какого-либо устройства, содержащего только двухпозиционные переключатели, т. е. переключатели, которые могут находиться только в двух состояниях: в замкнутом (ток проходит) и в разомкнутом (ток не проходит).

 

Связь между переключательными схемами

и алгеброй высказываний

Любую переключательную схему можно разбить на участки из последовательно или параллельно соединенных переключателей. Каждому переключателю поставим в соответствие элементарное высказывание, истинное тогда, когда переключатель замкнут, и ложное, если переключатель разомкнут. На схемах переключатели будем обозначать теми же буквами, что и соответствующие им элементарные высказывания. Если в цепи содержится несколько переключателей А, то все эти переключатели должны быть одновременно замкнуты или разомкнуты.

Переключателям, соединенным параллельно, поставим в соответствие операцию дизъюнкции: ток в этой цепи (рис. 1, а) будет протекать при замкнутом переключателе А, или переключателе В, или замкнутых переключателях А и В одновременно.

 

а	б
Рис. 1

 

Переключателям, соединенным последовательно, поставим в соответствие операцию конъюнкции: ток в цепи (рис. 1, б) потечет только тогда, когда замкнут переключатель А и замкнут переключатель В.

Если два переключателя работают так, что один из них замкнут, когда другой разомкнут и наоборот, то им ставятся в соответствие высказывания А и А.