Оптимальные партии поставки для одно продуктовых моделей

 

Модель управления запасами в условиях детерминированного спроса – это модель где интенсивность поступления требований предполагается известной и постоянной во времени. Как известно, на практике спрос почти никогда нельзя указать с определенностью; вместо этого его следует описывать в вероятностных терминах.

Детерминированные модели интересны тем, что позволяют познакомиться с методами анализа, используемыми в более сложных системах. Кроме того, результаты, полученные с помощью этих моделей, дают качественно правильные суждения о поведении системы даже при отказе от гипотезы детерминированного спроса.

На рис.1.1. показан самый общий случай образования (ОА), расходования (АК) запаса, затем возможное образование дефицита (КD) и его удовлетворения (DS). В точке S вновь начинается формирование запаса, так что временной отрезок OS представляет собой продолжительность рассмотренного цикла.

 

Рис. 1.1. Схема движения запасов для детерминированного спроса

Таким образом, на рис.4.1. показана схема одно продуктовой модели с учетом неудовлетворенных требований и конечной интенсивностью потребления и расходования запаса, где по оси ординат откладывается величина текущего запаса I, а по оси абсцисс – время t.

Обозначим:

l – интенсивность поступления;

n – постоянная интенсивность потребления;

t₁ – продолжительность формирования запаса со скоростью l [ед. запаса/ ед. времени];

t₂ – время расходования запаса со скоростью n;

t₃ – время образования дефицита со скоростью n;

t₄ – время погашения дефицита со скоростью l.

Тогда (l-n) – интенсивность (скорость) пополнения запаса.

Максимальный уровень (объем) наличного запаса AB=Y составит:

 

математическая модель оптимальный запасы

Максимальный уровень дефицита ED=y составит:

 

Продолжительность цикла поставки очередной партии или время возобновления запаса :

 

 

Так как спрос удовлетворяется полностью, но не всегда своевременно, то величина партии поставки :

Выразив , и через и из (4-1) и (4-2) соответственно, получим:

 

 

Общие издержки при работе этой системы обеспечения запасами складываются из:

· издержек от размещения запасов, которые не зависят от величины ;

· издержек от содержания запасов ;

· издержек от наличия дефицита .

Величина:

 

 

где – удельные расходы на хранение и иммобилизацию средств

[ руб./ ед. 60 минут].

Потери из-за отсутствия продукции, на которую предъявляются требования, или от дефицита считаем пропорциональными средней величине задолженных требований и времени их осуществления:

 

где — удельные издержки дефицита, т.е. потери, связанные с нехваткой единицы продукции в единицу времени.

Учитывая полученные выражения , и , получим формулу для общих издержек в системе в течении цикла :

 

 

отсюда удельные издержки за цикл составят:

 

 

Найдем оптимальные значения τ₂^* и τ₃^* из условия, что:

 

 

Условия (4-10) позволяют получить систему двух уравнений с двумя неизвестными и :

 

 

Обозначим и разделим первое из уравнений системы (4-11) на второе, найдем:

.

 

Откуда , и тогда

 

 

Подставив (4-12) в любое из уравнений системы (4-11), получим оптимальные значения:

 

 

Учитывая (4-13) и (4-14), из (4-5) получим оптимальные значения еще двух составляющих продолжительности цикла возобновления запасов:

 

 

 

Подставив τ₂^* и τ₂^* в формулы (4-5) и (4-4), получим оптимальные значения цикла повторения заказа и партии одно продуктовой поставки:

τ_ц^*=√ 2·K/(S·n)·√(1+ S / d)/ (1-n/l)= S₁/B₁ (4-17)

 

q^* = √ 2·K·n/S·√(1+ S / d)/ (1-n/l)= S₂/B₁ (4-18)

 

Аналогично, подставив значения τ₂^* и τ₃^* из (4-13) и (4-14) в (4-9), определим оптимальные удельные издержки системы:

 

L_уд^*=√ 2·K·n·S√ (1-n/l)/(1+ S / d)= √ 2·K·n·S· B₁ (4-19)

 

И, наконец, находим оптимальные значения максимального уровня наличного запаса и задолженного спроса:

 

Y^*= √ 2·K·n/S·√ (1-n/l)/(1+ S / d)= √ 2·K·n/(S · B₁) (4-20)

y^*= S / d·√ 2·K·n/S·√ (1-n/l)/(1+ S / d)= S / d·√ 2·K·n/(S · B₁) (4-21)

 

Общие оптимальные издержки системы за время возобновления запаса составят:

 

L_общ ^*= L_уд^* ·τ_ц^* (4-22)

 

Модель с учетом неудовлетворенных требований при конечной интенсивности поступлений можно широко применять при:

1. управлении поставками материальных ресурсов;

2. определении оптимальной величины запуска деталей в производство с учетом переналадок на одном и том же технологическом оборудовании.

Во втором случае K – это издержки, связанные с переналадками. Предполагается, что они не зависят от величины выпускаемой партии и порядка запуска деталей в производство, l – интенсивность выпуска (производительность), τ₁+ τ₄ – время, затраченное на производство определенного типа изделий.

Из уравнений (4-13) – (4-22) можно получить ряд других частных моделей:

a) при большой интенсивности пополнения, когда вся заказанная партия поступает одновременно; это значит, что l>>n и тогда можно принять n/l®0.

b) при больших штрафах за допущение дефицита S/d®0, т.е. дефицит недопустим (d>>S).

c) когда пункты а) и b) действуют одновременно. т.е. n/l®0, S/d®0, тогда имеем:

 

q^* = √ 2·K·n/S

τ_ц^*=√ 2·K/(S·n)

L_уд^*=√ 2·K·n·S

 

Последняя модель в отечественной и зарубежной литературе получила название Уилсона. Применяя формулы (4-17) – (4-19), можно показать, что за счет разумного компромисса между затратами на содержание и потерями от дефицита можно уменьшить общие затраты в единицу времени в √;1+S/d раз. При n/l®0 и высоких штрафах за дефицит рассматриваемая модель превращается в модель Уилсона.