Приклад. Обчислити визначник третього порядку: 2 3 4Обчислити визначник третього порядку: 2 3 4 ^ 5 -2 1 = (2 • (-2) • 3 + 3-1 -1 + 4 • 5 • 2) - (4 • (-2)-1 + 3 • 5 • 3 + 2 • 1 • 2) 1 2 3 = (-12 + 3 + 40) - (-8 + 45 + 4) = 31 - 41 = -10. Зробимо перевірку обчислення за допомогою програми Maxima, у якій для обчислення визначника матриці використовується функція determinant. (%il) determinant, (matrix ([2, З, 4], [5,-2, 1], [1,2,3])); - 10 ^ Отже, на відміну від матриць, які являють собою таблицю чисел, визначник це число, що певним чином ставиться у відповідність до матриці. 2.6. Властивості визначників T 1. Якщо квадратна матриця A є транспонованою до матриці A, то їхні •X
визначники збігаються |A | = |A|, тобто визначник матриці не змінюється, якщо її рядки змінити стовпцями й навпаки, наприклад, для визначника третього порядку:
2. При перестановці 2-х рядків або стовпців матриці, її визначник змінить знак на протилежний, зберігаючи абсолютну величину, тобто:
3. Якщо матриця має два однакові рядки або стовпця, то її визначник дорівнює нулю:
Дійсно, якщо переставити тут 2-ий і 3-ій рядки, то за властивістю 2 цей визначник повинен змінити знак, але сам визначник у даному випадку не змінюється, тобто одержуємо |A| = -|A| або |A| = 0. 4. Загальний множник рядка або стовпця можна виносити за знак визначника (на відміну від матриць, де множення матриці на число к рівносильне множенню всіх елементів матриці на це число): a11 a12 a13 к a21 a22 a23. a31 a32 a33 5. Якщо всі елементи будь-якого стовпця матриці дорівнюють нулю, то сам визначник дорівнює нулю. 6. Якщо всі елементи будь-якого рядка або стовпця матриці представлені у вигляді суми 2-х доданків, то визначник можна представити у вигляді суми 2-х визначників за формулою:
7. Якщо до будь-якого рядка (або стовпця) матриці додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на одне й теж число, то визначник не змінить своєї величини:
а11 + ка12 а а21 + ка
аз1 + каз2
2.7. Мінори й алгебраїчні доповнення. Розкладання визначників за елементами рядків і стовпців Нехай маємо визначник третього порядку:
а21 а22 а23 *31 а32 а33
Мінором, що відповідає даному елементові ау визначника третього порядку, називається визначник другого порядку, отриманий із даного викреслюванням рядка й стовпця, на перетині яких розташований даний елемент, тобто і-го рядка й у'-го стовпця. Мінори відповідні даному елементові ау будемо позначати Мі а у Наприклад, мінором М12, що відповідає елементові а12, буде визнач
, який отримаємо викреслюванням з даного визначника 1-го
рядка і 2-го стовпця. Якщо формулу для обчислення визначника третього порядку перетворити у вигляд
а2заз!) + а!
то одержимо визначник, що дорівнює сумі добутків елементів 1-го рядка на відповідні їм мінори; при цьому мінор, що відповідає елементові а12, береться зі знаком «-», тобто можна записати, що: А = а11М11 -а12 М12 + а13М13 (2.1)
ретього порядку маємо:
Таким чином, ця формула дає розкладання визначника третього порядку за елементами першого рядка а11, а12, а13 і зводить обчислення визначника третього порядку до обчислення визначників другого порядку. Аналогічно можна ввести поняття мінорів для визначників четвертого, п'ятого й т.д. порядків.
|
