Визначеність квадратичних форм

Отримані різними способами канонічні форми мають загальну власти­вість, що має вигляд наступної теореми.

Теорема (закон інерції квадратичних форм). Число доданків із пози­тивними (негативними) коефіцієнтами первинної квадратичної форми дорівнює числу цих доданків у зведеній квадратичній формі канонічного вигляду й не за­лежить від способу зведення форми до цього вигляду.

Так, у прикладах розглянутих вище, та сама квадратична форма різними способами була зведена до різного вигляду:

^Ь1 (У 'У2) = ² У² + у У^{2 і Ь}2 (У 'У2)= У² +¹¹ • У2².

Як бачимо, в обох квадратичних формах присутні тільки позитивні кое­фіцієнти.

Слід зазначити, що ранг матриці квадратичної форми, званий рангом квадратичної форми, дорівнює числу відмінних від нуля коефіцієнтів каноніч­ної форми й не змінюється при лінійних перетвореннях.

Квадратична форма називається додатньо визначеною, якщо при всіх значеннях змінних, з яких хоча б одне відмінне від нуля Ь(х₁,х₂..,х_п) > 0.

Квадратична форма Ь(х₁,х₂,х_п) називається від'ємно визначеною, якщо при всіх значеннях змінних, з яких хоча б одне відмінне від нуля Ь (х₁,х₂'...,х_п)< 0.

Так, наприклад, квадратична форма Ь₁ = 3хЦ + 4х2 + 9х3 є додатньо ви­значеною, оскільки, за будь-яких ненульових значень змінних, значення виразу буде позитивним. А форма Ь₂ = -х₁² +2х₁х₂ -х2 - є від'ємно визначеною, тому

що при її алгебраїчному перетворенні Ь₂ =-(х₁² -2х₁ х₂ + х2) = -(х₁ -х₂)² за будь-яких ненульових значень змінних значення виразу буде негативним.

Правило знаків діагональних елементів. Для того щоб квадратична форма канонічного вигляду Ь(1,х2,...,х_п)була додатньо (від ємно) визначе­ною, необхідно і достатньо, щоб усі власні значення Я, матриці А були пози­тивні (негативні).

У ряді випадків, наприклад, коли матриця первинної квадратичної фор­ми має порядок більше двох, для встановлення знаковизначеності квадратичної форми зручніше буває застосувати критерій Сильвестра.

Критерій Сильвестра. Для того щоб квадратична форма була додатньо визначеною, необхідно, але недостатньо, щоб усі головні мінори матриці цієї форми були позитивні, тобто М1 >0, М2 > 0,.,М_п > 0, де:

а_п а_п... а_1п ^а21 ^а22 ••• ^а2п

^ап1 ^ап 2 • • • ™пп

Головний мінор п-го порядку дорівнює визначникові всієї матриці.

Слід зазначити, що для від'ємно визначених квадратичних форм знаки головних мінорів чергуються, починаючи зі знака «мінус» для мінору першого порядку.

Крім додатньо й від'ємно визначених квадратичних форм існують не­від 'ємні й недодатні, а також знаконевизначені квадратичні форми. Для більшої наочності, усі можливі випадки визначеності квадратичних форм зведемо у таблицю 3.2.

а

Таблиця 3.2 Види визначеності квадратичних форм     Значення власних Значення головних діаго- № п/п Вид визначеності чисел у каноніч­ному вигляді квад­ратичної форми нальних мінорів первин­ної квадратичної форми (і = 1,2,..., п) 1. Додатньо визначена А > о Мі > 0 2. Невід'ємно визначена А > о Мі > 0 3. Від'ємно визначена А < о <­Мі < 0 при непарному і М і > 0 при парному і 4. Недодатньо визначена А < о <­Мі < 0 при непарному і Мі > 0 при парному і 5. Знаконевизначена при інших співвід­ношеннях при інших співвідношен­нях

Приклади

 

Приклад 1. Оцінити визначеність квадратичної форми:

(,, Х3) — Хі 4Х2 3Хз 2ХіХ2

^ Перший спосіб (за правилом знаків діагональних елементів) Знайдемо матрицю квадратичної форми і її характеристичне рівняння:

Ґ2 1

0Л 0 3

1 4 0

1 4-Я 0

2-А 1 0

1 0

\Л -АЕ\ —

А

0

0

V

3-Я

Розкриваємо визначник за третім рядком:

2-Я 1 1 4-Я Розкриваємо дужки:

(3-Я)(6-6Я + Я^[13] -1) = 0 або (3-Я)(Я² -6Я + 5) = 0. Перші дужки дають перший розв'язок Я = 3. Розв'язуємо квадратне рів­няння у других дужках і знаходимо Я₂ = 5; Я₃ — 1.

Так як розв'язки характеристичного рівняння матриці А позитивні, то на підставі наведеної теореми квадратична форма Ь (,Х₂,Х₃) - додатньо визначе­на.

Другий спосіб (за критерієм Сильвестра) Знайдемо головний мінор першого порядку матриці А:

(2 1 0 ^Л

А =14 0

V^{0 0 3}. = 2 > 0.

Знайдемо головний мінор другого порядку матриці А:

2 1

8 - і = 7 > 0.

І 4

Знайдемо головний мінор третього порядку матриці А:

0 або (3 -Л )[(2 -Л )(4 -Л)- і] = 0.

(3 -Л)

2 І 0

 

І 4 0 0 0 3

Так як всі головні мінори матриці А позитивні, то за критерієм Сильвес­тра дана квадратична форма Ь (,х₂,х₃) додатньо визначена. ►

= 3 • 7 = 21 > 0,

Приклад 2. Звести квадратичну форму Ь (х₁,х₂,х₃) до канонічного вигля­ду методом Лагранжа й оцінити визначеність:

а) первинного вигляду - за критерієм Сильвестра;

б) канонічного вигляду - за знаками діагональних елементів отриманої матриці квадратичної форми:

ЬЬ ( Х 1, Х 2, Х 3) — 2 Х 1 4 Х 1 Х 2 2 Х 1 Х 3 3 Х 2 4 Х 2 Х 3 3 Х 3.

^ а) оцінимо визначеність первинної квадратичної форми за критерієм Сильвестра. Для цього спочатку знайдемо матрицю первинної квадратичної форми:

2 І І 4

= 3

'2 2 1 ^л

Знайдемо головний мінор першого порядку матриці А:

— 2 > 0.

Знайдемо головний мінор другого порядку матриці А:

2 2

6 - 4 = 2 > 0.

2 3 Знайдемо головний мінор третього порядку матриці А: 2 2 1   0 6 7   6 7   2 3 -2 — 0 7 4 — 1 • 7 4 — 24-49 —-25 < 0 1 -2 -3   1 -2 -3

 

Оскільки у чергуванні знаків головних мінорів немає визначеного по­рядку, то за критерієм Сильвестра первинна квадратична форма Ь (х₁,х₂,х₃) знаконевизначена.

б) оцінимо визначеність квадратичної форми канонічного вигляду - за знаками діагональних елементів.

Виділимо повний квадрат першої змінної х₁:

 

\

х

Х 1 + 2 х₁

V ^ У V

х3 х1 х2 +

— 2

^Ь 3х^2 4 х2 х3 3х3.

У

²

х2 ^^ х2 х3

/

/

х

х

ЬЬ (Х1, Х2, Х3) — 2

- 2

^Ь 3 4 х2 х3 3 х3 —

х2 +■

+

х2 +■

х2 +■

2 - 2

V ⁴ У

 

х

х

Нехай у₁ — х₁ + х₂ + ^, тоді:

х

Ь (у 1, ^х ₂, ^х3

) — 2 у 1 ^{2 х}₂ ^{2 х}₂ ^х3 + ^{3 х}₂ ^{4 х}₂ ^х3 -3 х2 —

 

Нехай у₂ — х₂ - 3х₃, тоді одержимо:

25

^Ь(У1'У2^,х3) ^{— 2}У² + У2^2х3². Якщо тепер позначити у₃ — х₃, то одержуємо невироджене лінійне пере­творення у₁ — х₁ + х₂ +; у₂ — х₂ - 3х₃; у₃ — х₃.

При зазначеному невиродженому лінійному перетворенні первинна ква­дратична форма набуде канонічного вигляду:

Ь (,у₂,у₃) = 2у² + у2 ^_ у х^ або у вигляді діагональної матриці:

2 0 0

0 1 0

0 0 -25,

А =

 

Оскільки у чергуванні знаків діагональних елементів немає визначеного порядку, то за знаками діагональних елементів канонічна квадратична форма Ь(,у₂,у₃) знаконевизначена. ►