Індивідуальне завдання № 3.9Студент повинен розв'язати одну з наведених нижче задач, вибравши її за своїм номером у журналі групи. Звести квадратичну форму Ь (,х2,х3) до канонічного вигляду методом Лагранжа й оцінити визначеність: а) первинного вигляду - за критерієм Сильвестра; б) канонічного вигляду - за знаками діагональних елементів отриманої матриці квадратичної форми.
Контрольні запитання 1. Які вектори називають колінеарними і які компланарними? 2. Які властивості лінійних операцій над векторами? 3. Які існують властивості проекцій вектора на вісь? 4. Що таке базис на площині й у просторі? 5. Що таке характеристичне рівняння, власні числа й власні вектори матриці лінійного оператора? 6. Що називається канонічним видом квадратичної форми? 7. Які існують методи зведення квадратичної форми до канонічного вигляду? 8. У чому полягає закон інерції квадратичних форм? 9. Які властивості скалярного добутку? Написати формулу, що виражає скалярний добуток через декартові координати. 10. Які властивості векторного добутку? Написати умову колінеарно- сті векторів мовою векторного добутку. Написати формулу, що виражає векторний добуток через декартові координати співмножників. 11. Дати визначення мішаного добутку. Написати умову компланар- ності векторів. Написати формулу, що виражає мішаний добуток через декартові координати. У розділі розглянуті основи векторного аналізу, способи знаходження власних чисел і власних векторів матриці лінійного оператора, а також наведені методи оцінки визначеності квадратичних форм висновки Даний навчальний посібник призначений для студентів економічних спеціальностей. Перший розділ присвячений елементарній математиці. Увага приділена тим розділам, що будуть використовутися під час вивчення основних розділів «Математики для економістів». У розділі «Лінійна алгебра» основна увага приділяється прийомам і навичкам розв'язування задач, пов'язаних із системами лінійних алгебраїчних рівнянь. У курсах, що викладаються для економічних спеціальностей часто зустрічаються системи, що не мають розв'язків, або мають безліч розв'язків. Даний посібник допоможе з успіхом упоратися зі всіма цими випадками. Знання, отримані при розв'язуванні задач «Векторної алгебри» будуть корисні й при вивченні «Аналітичної геометрії». А теорія квадратичних форм буде корисною в економічних розрахунках. З її допомогою розраховуються різноманітні фінансові операції, нараховуються відсотки й т.п. Під час вивчення матеріалу, викладеного в посібнику, студентам пропонується розв'язати 20 різних індивідуальних завдань, що дозволять закріпити вивчений матеріал. Методика використання комп'ютерної програми Maxima, що використовується у всіх розділах, полегшує розв'язування задач за викладеними матеріалами. Цю програму «комп'ютерної математики» можна використовувати як «калькулятор із вищою математичною освітою», що дозволяє проводити чисельні розрахунки з великою, або навіть необмеженою (нічим, окрім пам'яті комп'ютера), точністю й базуючись на цілій енциклопедії закладених у нього знань із математики. Maxima орієнтована як на чисельні розрахунки, так і на символьне представлення даних і символьні (точні) розв'язки. Це дає можливість вибрати більш відповідний інструмент саме під свої конкретні завдання. Але основна потужність Maxima прихована саме в переплетенні цих двох особливостей: ви можете, наприклад, точно вивести в символьному вигляді коефіцієнти диференціального рівняння, а потім, у разі неможливості або відсутності необхідності його точного розв'язку, підрахувати деякий конкретний розв'язок чисельно в будь-яких заданих точках; або наблизити відрізком ряду Тейлора будь- якого порядку; або побудувати інтегральну лінію за тими ж чисельними значеннями, підрахованими з будь-якою потрібною точністю, на плоскості або в тривимірному просторі. За допомогою Maxima можна заощадити масу часу й уникнути багатьох помилок при обчисленнях. СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ТА ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 1. Большая Советская Энциклопедия. (В 30 томах). Гл. ред. А.М.Прохоров. Изд. 3-е. - М.: Советская Энциклопедия, - 1975. - Т. 20. 2. Высшая математика для экономистов. Учебник для экономических специальностей вузов / Под ред. Н.Ш.Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 471 с. 3. Демидович Б.П.. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: «Наука», 1977. 4. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 2001.- 648с. 5. Ильин В.А., Поздняк З.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. 6. Колесников А. Н. Краткий курс математики для экономистов.- М.: Инф- ра-М, 1997. 7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Типовые расчёты /. - М.: Высшая школа. - 1994. - 202 с. 8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: «Наука», 1984. 9. Щипачев В.С. Высшая математика: Учеб. Для нематемат.спец. вузов/. Под ред. Акад. А.Н.Тихонова. - М.: Высш.шк.. 1990. - 479 с. ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
Алгебраїчні рівняння й нерівності...... 26 Базис, розкладання вектора за базисом 117 Векторний добуток векторів і його властивості............................................. 130 Векторні лінійні простори.................. 116 Види матриць........................................... 48 Визначеність квадратичних форм... 154 Визначення матриці................................ 47 Висота тетраедра (піраміди).............. 138 Властивості визначників........................ 61 Декартова система координат............ 118 Довжина вектора................................... 127 Загальний розв'язок системи................ 90 Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду............................ 150 Зворотна матриця.................................... 67 Знаходження координат вектора....... 122 Існування розв'язку СЛАР загального виду 84 Канонічний вигляд квадратичної форми....................................................... 150 Колінеарні і компланарні вектори.... 110 Кут між векторами................................ 114 Лінійна залежність і незалежність векторів................................................... 116 Лінійна модель обміну (модель міжнародної торгівлі).......................... 145 Лінійні операції над векторами......... 111 Лінійні операції над векторами в координатній формі.............................. 121 Логарифмічні рівняння й нерівності.. 36 Методи знаходження власних чисел і власних векторів матриці 142 Методи обчислення визначників......... 59 Мінори й алгебраїчні доповнення....... 62 Мішаний добуток векторів і його властивоті............................................. 135 Напрямні косинуси вектора................ 120 Однорідна система рівнянь................... 90 Операції над матрицями......................... 48 Ортогональні системи векторів.......... 117 Основні властивості операцій над матрицями............................................. 48 Перехід від одного базису до іншого 117 Планіметрія............................................... 21 Поняття вектора................................... 110 Поняття визначника................................. 59 Поняття власних чисел і власних векторів матриці.................................... 142 Поняття і знаходження рангу матриці 81 Поняття квадратичної матриці і квадратичної форми........................... 148 Правило Крамера для розв'язування СЛАР 73 Проекція вектора на вісь...................... 114 Розв'язування СЛАР методом Гаусса 92 Розв' язування СЛАР за допомогою зворотної матриці 76 Розкладання визначників за елементами рядків і стовпців 62 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)......................................... 72 Скалярний добуток векторів і його властивості............................................ 126 Складання рівнянь................................... 42 Структура розв'язків неоднорідної системи лінійних рівнянь................ 92 Теореми Кронекера-Капеллі................. 84 Тригонометрія............................................ 9 Умова ортогональності двох векторів 127 Фундаментальна система....................... 90 ДОДАТОК А
tg 1=0.0175 tg 2=0.0349 tg 3=0.0524 tg 4=0.0699 tg 5=0.0875 tg 6=0.1051 tg 7=0.1228 tg 8=0.1405 tg 9=0.1584 tg 10=0.1763 tg 11=0.1944 tg 12=0.2126 tg 13=0.2309 tg 14=0.2493 tg 15=0.2679 tg 16=0.2867 tg 17=0.3057 tg 18=0.3249 tg 19=0.3443 tg 20=0.3640 tg 21=0.3839 tg 22=0.4040 tg 23=0.4245 ctg 1=57.2900 ctg 2=28.6363 ctg 3=19.0811 ctg 4=14.3007 ctg 5=11.4301 ctg 6=9.5144 ctg 7=8.1443 ctg 8=7.1154 ctg 9=6.3138 ctg 10=5.6713 ctg 11=5.1446 ctg 12=4.7046 ctg 13=4.3315 ctg 14=4.0108 ctg 15=3.7321 ctg 16=3.4874 ctg 17=3.2709 ctg 18=3.0777 ctg 19=2.9042 ctg 20=2.7475 ctg 21=2.6051 ctg 22=2.4751 ctg 23=2.3559 tg 24=0.4452 tg 25=0.4663 tg 26=0.4877 tg 27=0.5095 tg 28=0.5317 tg 29=0.5543 tg 30=0.5774 tg 31=0.6009 tg 32=0.6249 tg 33=0.6494 tg 34=0.6745 tg 35=0.7002 tg 36=0.7265 tg 37=0.7536 tg 38=0.7813 tg 39=0.8098 tg 40=0.8391 tg 41=0.8693 tg 42=0.9004 tg 43=0.9325 tg 44=0.9657 tg 45=1.0000 tg 46=1.0355 ctg 24=2.2460 ctg 25=2.1445 ctg 26=2.0503 ctg 27=1.9626 ctg 28=1.8807 ctg 29=1.8040 ctg 30=1.7321 ctg 31=1.6643 ctg 32=1.6003 ctg 33=1.5399 ctg 34=1.4826 ctg 35=1.4281 ctg 36=1.3764 ctg 37=1.3270 ctg 38=1.2799 ctg 39=1.2349 ctg 40=1.1918 ctg 41=1.1504 ctg 42=1.1106 ctg 43=1.0724 ctg 44=1.0355 ctg 45=1.0000 ctg 46=0.9657 tg 47=1.0724 tg 48=1.1106 tg 49=1.1504 tg 50=1.1918 tg 51 = 1.2349 tg 52=1.2799 tg 53=1.3270 tg 54=1.3764 tg 55=1.4281 tg 56=1.4826 tg 57=1.5399 tg 58=1.6003 tg 59=1.6643 tg 60=1.7321 tg 61=1.8040 tg 62=1.8807 tg 63=1.9626 tg 64=2.0503 tg 65=2.1445 tg 66=2.2460 tg 67=2.3559 tg 68=2.4751 tg 69=2.6051 ctg 47=0.9325 ctg 48=0.9004 ctg 49=0.8693 ctg 50=0.8391 ctg 51=0.8098 ctg 52=0.7813 ctg 53=0.7536 ctg 54=0.7265 ctg 55=0.7002 ctg 56=0.6745 ctg 57=0.6494 ctg 58=0.6249 ctg 59=0.6009 ctg 60=0.5774 ctg 61=0.5543 ctg 62=0.5317 ctg 63=0.5095 ctg 64=0.4877 ctg 65=0.4663 ctg 66=0.4452 ctg 67=0.4245 ctg 68=0.4040 ctg 69=0.3839 tg 70=2.7475 tg 71=2.9042 tg 72=3.0777 tg 73=3.2709 tg 74=3.4874 tg 75=3.7321 tg 76=4.0108 tg 77=4.3315 tg 78=4.7046 tg 79=5.1446 tg 80=5.6713 tg 81=6.3138 tg 82=7.1154 tg 83=8.1443 tg 84=9.5144 tg 85=11.4301 tg 86=14.3007 tg 87=19.0811 tg 88=28.6363 tg 89=57.2900 ctg 70=0.3640 ctg 71=0.3443 ctg 72=0.3249 ctg 73=0.3057 ctg 74=0.2867 ctg 75=0.2679 ctg 76=0.2493 ctg 77=0.2309 ctg 78=0.2126 ctg 79=0.1944 ctg 80=0.1763 ctg 81=0.1584 ctg 82=0.1405 ctg 83=0.1228 ctg 84=0.1051 ctg 85=0.0875 ctg 86=0.0699 ctg 87=0.0524 ctg 88=0.0349 ctg 89=0.0175 ctg 90=0.0000 ДОДАТОК Б
|
