Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6.

Монета бросается 4 раза. Построить многоугольник распределения случайной величины Х- числа выпадений герба.

8. Из колоды карт (их 36) вытаскивают наудачу 5 карт. Какова вероятность того, что будет вытащены 2 туза и 3 шестерки?

9. Из букв разрезной азбуки составлено слово СТАТИСТИКА. Какова вероятность того, что, перемешав буквы и укладывая их в ряд по одной (наудачу), получим слово: а) ТИСКИ; б)КИСКА; в) КИТ; г) СТАТИСТИКА?

10. Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в течении 10 лет первой микросхемы равна 0,07, а второй- 0,10. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что вышла из строя первая микросхема?

11. В семье трое детей. Какова вероятность того, что: а) все они мальчики; б) один мальчик и две девочки. Считать вероятность рождения мальчика 0,51, а девочки- 0,49.

Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6.

13. Семь человек рассаживаются наудачу на скамейке. Какова вероятность того, что два определенных человека будут сидеть рядом?

14. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее на удачу вынимают (без возврата) 2 шара. Какова вероятность того, что они оба будут разных цветов?

15. Из 40 экзаменационных билетов студент П выучил только 30. Каким выгоднее ему зайти на экзамен, первым или вторым?

16. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.

17. Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна 0,6, а вторым- 0,9. Составить ряд распределения случайной величины Х- числа студентов, успешно сдавших экзамен в случае, когда: а) экзамены пересдавать нельзя; б) экзамен можно один раз пересдать.

18. На 5 карточках разрезной азбуки изображены буквы Е,Е,Л,П,П. Ребенок случайным образом выкладывает их в ряд. Какова вероятность того, что у него получится слово ПЕПЕЛ?

19. Три орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель каждого равна 0,7. Найти вероятность попадания в цель: а) только одного из орудий; б) хотя бы одного.

20. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

21. В каждом из карманов (их 2) лежит по коробку спичек (по 10 спичек в коробке). При каждом закуривании карман выбирается наудачу. При очередном закуривании коробок оказался пустым. Найти вероятность того, что во втором коробке 6 спичек.

22. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки.

23. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 50. Найти вероятность того, что среди 3-х наугад выбранных вопросов студент знает а) все вопросы; б) два вопроса.

24. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

25. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй- 6, из третьей группы- 5 студентов. Вероятность того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

26. Вероятность поражения стрелком мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

27. В урне 8 шаров, из них 5 белых, остальные- черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.

28. Для проведения соревнования 10 команд, среди которых 3 лидера, путем жеребьевки распределяются на 2 группы по 5 команд в каждой. Какова вероятность того, что 2 лидера попадут в одну группу, 1 лидер- в другую?

29. Из колоды карт (их 36) наугад вынимают 2 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама».

30. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрошенная схема проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяет стандарту, с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту.

31. Производится три независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны 0,9. Какова вероятность: А) промаха; б) одного попадания; в) двух попаданий; г) трех попаданий?

32. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины Х- стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

31. Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна 0.6, а вторым- 0.9. Составить ряд распределения случайной величины Х- числа студентов, успешно сдавших экзамен в случае, когда: а) экзамены пересдавать нельзя; б) экзамен можно один раз пересдать.

32. Плотность распределения случайной величины Х задана функцией . Найти значение параметра .

33. Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятность попадания при различных выстрелах одинаковы и равны 0.9. Найти математическое ожидание числа попаданий.

34. При измерении детали получаются случайные ошибки подчиненные нормальному закону с параметром мм. Производится 3 независимых измерения детали. Найти вероятность того, что ошибка хотя бы одного измерения не превосходит по модулю 2 мм.

35. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что: а) при бросании монеты 500 раз число выпадений герба будет заключено между 200 и 300; б) при бросании 10 игральных костей сумма очков отклонится от математического ожидания меньше, чем на 8.

36. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0,9. В каждой партии содержится пять изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х- числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия,- если проверке подлежит 50 партий.

37. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х-числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х)=0,9.

38. Дискретная случайная величина Х имеет только три возможных значения: х1,х2, и х3, причем х1<x2<x3. Вероятности того, что Х примет значения х1 и х2 соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины Х, зная ее математическое ожидание М(Х)=2,2 и дисперсию D(X)=0,76.

39. Случайная величина имеет плотность вероятностей

f {x}=

Найти постоянный параметр с, математическое ожидание и дисперсию.

40. Случайная величина Х распределена нормально в интервале [-c,c]. Найти P(Х>0).

 

41. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

42. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: х1 и х2, причем х1<х2. Вероятность того, что Х примет значение х1, равна 0,2. Найти закон распределения Х зная математическое ожидание М(Х)=2,6 и среднее квадратическое отклонение равное 0,8.

43. Вероятность появления события в каждом испытании равна ¼. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х, появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.

44. Случайная величина Х в интервале (-3,3) задана плотностью распределения f(x)=1/(. Вне этого интервала f(x)=0. Найти дисперсию.

45. Случайная величина Х распределена с плотностью:

f (x)=

Найти P(|Х|< ), математическое ожидание и дисперсию.

1. Игральную кость бросили раз. При этом очко выпало раз, очка – раз, очка – раз, очка – раза, очков – раза, очков – раз. Найдите эмпирическую функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости.

2. В четырех независимых испытаниях случайная величина приняла следующие значения: Найдите несмещенную оценку дисперсии

3. В независимых испытаниях случайная величина значениe приняла раз, а значение – раз. Найдите несмещенную оценку дисперсии

4. Даны результаты независимых измерений одной и той же величины прибором, не имеющим систематических ошибок: м. Найдите несмещённую оценку дисперсии ошибок измерений, если истинная длина неизвестна.

5. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна , а случайные ошибки распределены нормально со среднеквадратичным отклонением м. Каково наименьшее число независимых измерений, при котором удается определить глубину с ошибкой меньше метров с надежностью не ниже ?

6. Найдите ‑доверительный интервал для генерального среднего нормально распределенного признака , если генеральное среднеквадратичное отклонение равно , а выборочное среднее при объеме выборки равно .

 

7. В результате проведенного социологического опроса человек рейтинг кандидата в президенты составил . Найдите доверительный интервал для рейтинга кандидата с гарантированной надежностью .

8. Численность повторной выборки составляет единиц. Доля признака составляет . Найдите с доверительной вероятностью , в каких пределах находится отклонение частоты от доли признака.