Введение 4 страница

Построим единичные эпюры от опорных единичных моментов (рис.5.2):

Х₁=Х₂=1.

Канонические уравнения метода сил будут иметь следующий вид:

Вычислим площади грузовых и единичных эпюр:

Определим значение ординат единичных эпюр, расположенных под центрами тяжести соответствующих им грузовых эпюр:

Применяя правило Верещагина, определим коэффициенты канонического уравнения метода сил:

Если грузовая и единичная эпюры имеют разные знаки, то перед произведением площади эпюры на ординату под центром ее тяжести ставится знак «минус».

Решаем систему канонических уравнений:

Для построения эпюры поперечных сил определим реакции опор. Рассмотрим равновесие всех пролетов раздельно, прикладывая к ним, кроме заданной нагрузки, найденные опорные моменты (рис.5.3, 5.4).

Участок АС:

Участок CD:

Участок DK:

Заменяя опоры реакциями, строим эпюру поперечных сил. На опорах C и D суммируем реакции (рис. 5.4).

Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 5.4):

Определим значение изгибающих моментов в точках z₁ и z₂:

Проведем проверку правильности расчетов. Перемножаем окончательную эпюру изгибающих моментов на единичные (рис. 5.5).

Рис.5.5 Эпюра изгибающих моментов и единичные эпюры.

Подберем сечение в виде двутавра:

Используя сортамент (Приложение 1), выбираем двутавр №12, Wх = 58,4см³.

Недогрузка балки составляет: Проверим балку по касательным напряжениям:

Определим прогибы посредине каждого пролета балки. Для этого в основной системе в каждом пролете приложим единичную силу и построим единичные эпюры (рис.5.6, 5.7, 5.8, 5.9).

Осуществим перемножение грузовой эпюры на единичную. Рассмотрим каждый участок балки:

Рис.5.6. Грузовая и единичная эпюры.

Участок АС

Определим площади элементов эпюры изгибающих моментов и значения ординат под их центрами тяжести.

Прогиб в точке А равен:

Участок ВС.

Определим величину изгибающего момента в точке L:

Рис.5.7. Грузовая и единичная эпюры участка балки ВС.

Площади элементов эпюры и ординаты под центрами их тяжести рассчитываем аналогично:

Прогиб в точке L равен:

Рис.5.8. Грузовая и единичная эпюры участка балки СD.

Участок С D

Определим значение изгибающего момента в точке N:

Площади элементов эпюры и ординаты под центрами их тяжести:

Прогиб в точке N:

Рис.5.9. Грузовая и единичная эпюры участка балки DK.

 

Участок DK.

Определим площади элементов эпюры изгибающих моментов на участке и ординаты под центрами их тяжести:

Прогиб в точке Е:

Подберем сечение балки из прокатного двутавра.

Условие прочности:

По сортаменту (Приложение 1) подбираем двутавр №12

Балка недогружена:

Проверим балку по касательным напряжениям:

Построим изогнутую ось балки, определив прогибы в пролетах:

Отразим изогнутую ось балки (рис.5.4).

 

Задача 5.2

 

Многопролетная (неразрезная) балка нагружена расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R=210МПа, Rc=130МПа и модулем упругости Е=210ГПа,

m=12 кН·м, q=8 кН/м, F=10кН, а = 1м.

Рис.5.10. Схема балки и основной системы. Грузовая и

единичные эпюры основной системы.

Рис.5.11. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Единичные эпюры. Линия прогибов балки.

Данная балка имеет две избыточные связи сверх необходимого минимума для обеспечения неизменяемости схемы.

Канонические уравнения будут иметь вид:

Лишними неизвестными являются реакции опор В и D. В качестве основной принимаем систему, имеющую заделку в точке А.

Построим эпюру изгибающих моментов от действующей нагрузки (рис.5.10):

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных вместо отброшенных связей (рис.6.10):

(от силы ,

(от силы .

Определим площади участков грузовой эпюры изгибающих моментов ( и ординат под центрами их тяжести в единичных эпюрах ( и .

Определяем члены канонического уравнения:

Решаем систему уравнений:

Откуда находим, что

Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов:

Определим значение изгибающего момента в точке N.

Осуществим проверку правильности расчетов, перемножив конечную эпюру изгибающих моментов на единичные

.

Ошибка составляет 0,016%

Определим прогибы посредине каждого из пролетов и в точке Е. Для этого воспользуемся методом начальных параметров.

в начале координат.

Запишем выражение начальных параметров для Z=2м, Z=6м, Z=12м.

Подберем сечение в виде двутавра (Приложение 1):

R=200МПа,

Подберем по сортаменту двутавр №22,

Прогиб в точке 1 при Z=2:

при Z=6:

при Z=12:

Строим изогнутую линию балки (рис.5.11).

 

6. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.

 

 

Задача 6.1. Внецентренное сжатие.

 

Колонна заданного поперечного сечения сжимается расчетной силой F, направленной параллельно продольной оси и приложенной к точке К.

Расчетные сопротивления для материала колонн:

на растяжение на сжатие

Требуется:

1) найти положение нулевой линии;

2) вычислить наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения и построить эпюру напряжений, дать заключение о прочности колонны;

3) построить ядро сечения .

 

 

F=80 кН;

a=20 см;

b=12 см.
Рис. 6.1. Схема поперечного сечения колонны.

Рис. 6.2. Положение центра тяжести и нулевой линии.

Решение.

Определим координаты тяжести сечения. Поперечное сечение колонны имеет ось симметрии , следовательно, центр тяжести лежит на этой оси и для отыскания координаты относительно вспомогательной оси , сложное сечение разбиваем на три прямоугольника.

где , и - координаты центров тяжести прямоугольников относительно оси , а

, и - площади их поперечных сечений.

Определим геометрические характеристики сечения. Для вычисления главных центральных моментов инерции воспользуемся зависимостью между моментами инерции при параллельном переносе осей.

Определим квадраты радиусов инерции:

Координаты точки приложения силы F:

 

Положение нулевой линии:

По найденным отрезкам, отсекаемых на осях координат, проводим нулевую линию (рис 6.2).

Определим наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения. Наиболее удаленными от нулевой линии точками являются точки А и В. Их координаты:

Напряжения в этих опасных точках не должны превосходить соответствующего расчетного сопротивления:

Знак минус перед формулой показывает, что сила, приложенная к колонне, является сжимающей.

Нулевая линия делит сечение на зоны сжатия (область приложения силы F) и растяжения.

Растягивающее напряжение:

Сжимающие напряжение:

Прочность колонны обеспечена.

По результатам напряжений и строим эпюру (рис. 6.2)

Построим ядро сечения (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Ядро сечения.

Чтобы получить очертание ядра сечения, необходимо рассмотреть все возможные положения касательных к контуру сечения и, предполагая, что эти касательные являются нулевыми линиями, вычислить координаты граничных точек ядра относительно главных центральных осей сечения. Соединяя затем эти точки, получим очертание ядра сечения.

Касательная 1-1:

;

;

Касательная 2-2:

;

.

Касательная 3-3:

Определим координаты точек пересечения секущей 3-3:

Касательная 4-4:

;

Поскольку сечение имеет ось симметрии , то все определенные координаты переносим симметрично этой оси (рис. 6.3).

 

Задача 6.2. Косой изгиб.

 

Балка нагружена в главных плоскостях расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R=210Мпа.

Требуется:

1) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях;

2) определить опасное сечение и подобрать двутавр, приняв

3) определить положение нейтральной оси в одном сечении и построить эпюру нормальных напряжений.

Рис.6.4. Схема балки.

 

Решение.

Определим вертикальные и горизонтальные опорные реакции и строим и (рис.6.2)

Рис 6.5. Эпюры изгибающих моментов относительно осей Х и Y.

 

Выберем наиболее опасное сечение. Максимальные моменты в плоскости оси Х и Y находятся в точке А:

Определим требуемый момент сопротивления, приняв т.е.

Условие прочности при косом изгибе для балок из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет следующий вид:

или , откуда

По сортаменту (Приложение 1) принимаем двутавр №40,

Проверяем прочность балки:

Прочность балки обеспечена.

Недогрузка балки составляет: .

Определяем угол наклона нулевой линии к оси ОХ:

Рис. 6.6. Положение нулевой линии. Эпюра напряжений.

 

Для построения эпюры угол откладываем против часовой стрелки от оси ОХ. Наибольшие напряжения будут действовать в угловых точках сечения, причем в точке А они будут растягивающими, а в В – сжимающими.

Угол наклона силовой линии:

 

Задача 7.3. Общий случай нагружения.

 

Пространственная система, состоящая из трех стержней, жестко соединенных между собой под прямым углом, нагружена расчетной нагрузкой в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Стержни системы имеют одинаковые длины и диаметры поперечных сечений. Материал стержней – сталь с расчетным сопротивлением R =210МПа и Rc =130МПа, m = 4кН м, ℓ=0,8м, q = 8кН/ м, d = 10см, F = 6кН.

Требуется:

1) построить эпюры внутренних усилий;

2) установить вид сопротивления для каждого участка стержня;

3) определить опасное сечение и дать заключение о прочности конструкции.

Рис. 6.7. Схема пространственной системы.

 

Решение.

Построим эпюру продольных сил. На участках АВ и ВС отсутствуют продольные силы.

Участок С D:

Продольной силой для данного участка является сила F. N=-F=-6кН (сжатие) (рис 6.8).

 

Рис. 6.8. Эпюра продольных сил.

 

Построим эпюру поперечных сил (рис 7.9).

Участок А B:

Участок ВС:

Участок С D:

 

 

Рис. 6.9. Эпюра поперечных сил.

 

Построим эпюру изгибающих моментов. Для этого последовательно построим эпюры от каждого вида нагрузки.

Сила F:

Участок АВ:

=0, =F· ℓ = 6· 0,8=4,8кН· м.

Участок ВС:

= F· ℓ= 6· 0,8= 4,8кН·м.

Участок С D: