Примеры анализа систем с использованием первого метода Ляпунова

3.1. Анализ реакционной схемы

Рассмотрим проточный реактор идеального смешения, в котором протекают реакции по схеме:

Математическая модель реактора имеет вид:

Определим стационарное состояние в реакторе и тип этого состояния. Неподвижную точку находим из условия:

Запишем характеристическое уравнение для модели реактора и определим его корни:

всегда отрицательно; знак зависит от соотношения времени пребывания и константы автокаталитической реакции следующим образом:

при

при

Таким образом, если константа автокаталитической реакции больше стационарное состояние является седлом и неустойчиво, если меньше - стационарное состояние является устойчивым узлом. Отметим, что неустойчивость реакций такого типа предсказывает метод функций Ляпунова (избыточного производства энтропии). Причина неустойчивости кроется в наличии обратной автокаталитической связи. Действительно, если увеличить рабочий объём реактора так, чтобы то произойдет гашение возникающих флуктуаций; если же флуктуации не затухают, и стационарный режим будет неустойчивым.

3.2. Анализ модели процесса кристаллизации

Рассмотрим процесс кристаллизации в реакторе, в котором с постоянной скоростью b происходит отбор зародышей и с постоянной скоростью b_d происходит пополнение крупными частицами. Пусть в реакторе происходит растворение мелких частиц и кристаллизация крупных, а также пусть зародышеобразование происходит по вторичному механизму. Математическая модель такой системы имеет вид:

где m₀ - нулевой момент функции распределения кристаллов по размерам, характеризующий общее количество частиц в единице объёма реактора; m₁ - первый момент функции распределения, характеризующий суммарный линейный размер кристаллов; k - константа скорости образования зародышей; k m₁ - скорость образования зародышей; b - скорость отбора зародышей; b_d - скорость пополнения крупными частицами; h₁ - скорость роста кристаллов; h₂ - скорость растворения кристаллов; d_b - суммарный линейный размер поступающих частиц.

Средний размер кристалла в кристаллизаторе определяется соотношением:

Нас интересует, как будет вести себя средний размер кристалла с течением времени. Определим стационарное состояние в реакторе:

Очевидно, что стационарное состояние существует только при выполнении условий:

Получим характеристическое уравнение:

Определим его корни:

Как видно, корни чисто мнимые, т.е. стационарное состояние является центром. Следовательно, в такой системе размер кристалла будет колебаться вокруг среднего значения с постоянными периодом и амплитудой в течение длительного времени.

 

4. Определение типа неподвижных точек для систем n -го порядка

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений n -го порядка. В качественной теории дифференциальных уравнений формулируются следующие теоремы:

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения системы имеют отрицательные действительные части, то неподвижная точка асимптотически устойчива;

Теорема 2. Если хотя бы один корень характеристического уравнения системы имеет положительную действительную часть, то неподвижная точка неустойчива по Ляпунову;

Теорема 3. Если характеристическое уравнение системы имеет простые корни с нулевой действительной частью или простые чисто мнимые корни, либо простой нулевой корень и простые чисто мнимые корни, а все остальные корни (если они имеются) имеют отрицательные действительные части, то неподвижная точка устойчива по Ляпунову (нейтральная устойчивость).

Легко видеть, что рассмотренные ранее возможности поведения корней характеристического уравнения для случая n = 2 являются частным случаем данных теорем.

 

5. Необходимый признак асимптотической устойчивости линейных систем

(критерий Раусса-Гурвица)

Характеристическое уравнение для системы n -го порядка имеет вид:

(8.8)

Из коэффициентов характеристического уравнения (8.8) составим матрицу, называемую матрицей Раусса-Гурвица:

Для того чтобы все корни характеристического многочлена (8.8) имели строго отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы Раусса-Гурвица, составленной из коэффициентов характеристического многочлена, были строго положительны:

Критерий Раусса-Гурвица является критерием асимптотической устойчивости для линейных систем.

Рассмотрим случай n = 2. Для многочлена (8.7) построим матрицу Раусса-Гурвица:

Критерий Раусса-Гурвица определяет условия

соответствующие устойчивому фокусу или устойчивому узлу (см. таблицу, приведённую в разделе "Классификация неподвижных точек на плоскости";).

Рассмотрим случай n = 3. Характеристический многочлен имеет вид:

(8.9)

Запишем матрицу Раусса-Гурвица

Тогда условия критерия асимптотической устойчивости выглядят следующим образом:

или

(8.10)