Функция. Основные определения. Последовательность. Предел последовательности

Содержание

1. Функция. Основные определения. Последовательность. Предел последовательности 4

2. Предел функции непрерывного аргумента. 12

3. Вычисление пределов функций. Основные приёмы. 18

4. Замечательные пределы. 23

5. Применение эквивалентных бесконечно малых к нахождению пределов функции. Сравнение бесконечно малых. 26

6. Непрерывность функций. Точки разрывa. 31

Список литературы. 35

 

Функция. Основные определения. Последовательность. Предел последовательности

Если каждому значению переменной х, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной у, то у есть функция от х, .

Переменная х называется независимой переменной или аргументом. Зависимость переменных х и у -функциональная зависимость. Совокупность значений х, для которых определяются значения у в силу называется областью определения функции (или областью существования). Совокупность всех значений, принимаемых переменной у, называется областью значений функции.

Основные свойства функций:

1. Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любого значения x из области определения и нечетной, еcли для любого значения x из области определения .

Например, - четная функция, потому что , график ее в декартовой системе координат симметричен относительно оси ФОУ;

- нечетная функция, потому что , график ее в декартовой системе координат симметричен относительно точки О(0;0); - не является четной или нечетной, .

2. Монотонность функции. Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

Для любой монотонной функции существует обратная функция . Значения функции для обратной к ней становятся значениями аргумента, а значения аргумента функции для обратной к ней становятся значениями функции. График обратной функции в декартовой системе координат симметричен графику данной функции относительно биссектрисы первого координатного угла. Например, и .

3. Ограниченность. Функция называется ограниченной сверху на отрезке , если существует такое число A, что для всех будет выполняться неравенство <A. Функция называется ограниченной снизу на отрезке , если существует такое число A, что для всех будет выполняться неравенство >A. Функция называется ограниченной на отрезке , если существует такое положительное число A>0, что для всех будет выполняться неравенство | |<A.

4. Периодичность. Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого значения из области определения выполняется равенство . Период - наименьшее положительное число .

5. Сложная функция. Пусть у является функцией от u, а u в свою очередь зависит от х, тогда у является функцией от функции или сложной функцией.

, .

Например, .

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида , где справа стоящее выражение составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. Основными элементарными функциями являются следующие: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая.

Пример 1. Дана функция , найти , :

 

;

Пример 2. Дана функция:

Найти y(-1); y(3).

На рис.1 изображен график заданной функции:

 

-2

у

х

Рис 1.

y(-1)=1; y(3)=0

 

Пример 3. Записать в виде цепочки основных элементарных функций :

.

 

Пример 4. Найти область определения функции :

.

 

Пример 5. Перечислить свойства функции :

четная, ;

ограниченная, ;

периодическая, ,

, -наименьший период.

Последовательность. Предел последовательности

Последовательностью действительных чисел называется функция, определенная на множестве всех натуральных чисел. Число называется n-м членом последовательности и обозначается символом , а формула (n) называется формулой общего члена последовательности

Если для любого n будет выполняться условие , то последовательность возрастающая; если , то убывающая.

Рассмотрим последовательность, заданную

Каждый последующий член этой последовательности меньше предыдущего, это убывающая последовательность.

Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого числа найдется такой номер N, что для всех членов последовательности с номерами n>N справедливо неравенство

,

Если последовательность имеет предел, она называется сходящейся, если не имеет – расходящейся.

Пример 6. Написать первые шесть членов последовательности

это возрастающая неограниченная последовательность (рис.2).

 

1 2 3 4 5 6

x

n

Рис.2

 

Пример 7. Написать формулу общего члена последовательности:

.

Ответ: .

Пример 8. Используя определение, доказать, что последовательность, заданная формулой имеет предел, равный .

Чтобы показать, что , надо в соответствии с определением по произвольному >0 суметь найти такой номер N=N(), чтобы для всех n>N выполнялось неравенство

| |< (1),

преобразуем

| | < .

Так как n-натуральное число, то , следовательно

| |= .

Таким образом, получаем

< ,

3n+1> ,

3n> -1,

n> .

Следовательно, если положить N()=[ ] ([ ]-целая часть), то при всех n>N неравенство (1) будет выполняться. Таким образом, по произвольно заданному числу >0 мы можем найти такой номер N=N() (а именно, N= ), что при всех n>N будет выполняться неравенство | |< , следовательно, по определению предела , что и требовалось доказать.

Пример 9. Показать, что при последовательность с общим членом имеет пределом число 3/2.

; ; ; .

Итак, если , то , т.е.

Полагая , заключаем, что неравенство выполняется при (например, при ). Аналогично, неравенство выполняется при (п=125), а неравенство - при (п=1250).

 

Задания для самостоятельной работы.

№1. Дана функция . Найти а) ; б) ; в) ; г) .

 

№2. Дана функция . Найти а) ; б) ; в) ; г) .

№3. Дана функция .

Найти: а)y(4); б)y(0); в)y(-4).

№4. Записать в виде цепочки основных элементарных функций .

 

№5. Записать в виде одной функции цепочку функций .

 

№6. Найти область определения функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

№7. Перечислить свойства функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

№8. Написать первые шесть членов последовательностей, изобразить их на чертеже:

а) ; б) ; в) ; г) .

 

№9. Написать формулу общего члена последовательности:

а) ; б) ; в)

№10. С помощью определения предела последовательности доказать, что последовательность с общим членом имеет предел а. Найти , взяв 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, результаты записать в таблицу:

 

	0,1	0,01	0,001	0,0001

а) , а=1.

б) , а=2; , а .

2. Предел функции непрерывного аргумента

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности.

Определение. Функция стремится к пределу () при х, стремящемся к (), если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех х, отличных от а и удовлетворяющих неравенству: , имеет место неравенство

 

х

у

М

Рис. 3

 

Так как из неравенства следует неравенство , это значит, что на графике функции , для всех точек х, отстоящих от точки а не далее чем на , точки графика М лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми и .

Если стремится к пределу b₁ при х_, стремящемся к некоторому числу а так, что х принимает только значения, меньшие а, то пишут и называют b₁ пределом функции в точке слева.

 

a

y

x

Рис. 4

 

Для существования предела функции при не требуется, чтобы функция была определена в точке х = а. При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрест- ности а.

Функция стремится к пределу b при , если для каждого произвольно малого положительного числа можно указать такое положительное число N, что для всех х удовлетворяющих неравенству , будет выполняться

 

у

х

N

Рис. 5

 

Пример 1. Докажем, что . Пусть задано произвольное , для того чтобы выполнялось неравенство , необходимо выполнение неравенств ; ; .

Таким образом, при любом для всех значений х, удовлетворяющих неравенству , значение функции 6х+1 будет отличаться от 7 меньше, чем на . А это значит, что 7 есть предел функции при .

Пример 2. Докажем, что

Нужно доказать, что при произвольном будет выполняться неравенство , если только , причем N определяется выбором . Данному неравенству эквивалентно следующее: , которое будет выполняться, если будет . Это и значит, что .

Функция стремится к бесконечности при , т.е. является бесконечно большой величиной при , если для каждого положительного числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое , что для всех значений х, отличных от а, удовлетворяющих условию , имеет место неравенство . Тогда пишут: .

Если стремится к бесконечности при и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения соответственно пишут или .

Пример 3. Докажем, что

Возьмем произвольное число M>0. Если найдем такое число , что для всех х, удовлетворяющих , где а=4, будет справедливо неравенство , где , то утверждение будет доказано.

; ; .

Если положить и потребовать выполнения неравенства

, то неравенство будет справедливо,

.

М

у

х

●

●

Рис. 6

 

Геометрически это означает, что для всех и соответствующие точки графика функции будут находиться выше прямой у = М, т.е. будут находиться в бесконечной полуполосе, ограниченной прямыми и , у = М, причем у>М.

Пример 4. Докажем, что при функция предела не имеет.

Функция sinx периодическая с периодом , следовательно, при неограниченном возрастании аргумента эта функция периодически пробегает все свои значения .

Но это значит, что при возрастании х значения функции не могут отличаться от любого постоянного числа все менее и менее. Значит функция sinx предела не имеет.

На самом деле, из определения конечного предела вытекает, что если функция имеет конечный предел при то этот предел один. Следовательно, если взять последовательность точек , то соответствующая последовательность значений функции должна иметь предел, равный а.

Возьмем две последовательности .

1) ; ; ; …;

; ; ; …; , предел равен а=1.

2) ; ; ;…;

; ; ; …; , предел равен а=0.

Выделение последовательности значений функции sinx при имеют различные пределы, следовательно, данная функция предела не имеет.

 

Задания для самостоятельной работы.

№1 Найти пределы функций или доказать, что они не существуют

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е)

 

№2 Доказать, что а) ; б)

 

№3 Доказать, что

 

№4 Доказать, что

 

3. Вычисление пределов функций. Основные приёмы

Основные теоремы о пределах.

 

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:

 

Теорема 2. Предел произведение двух и трех и вообще определенного числа переменных равен произведению пределов этих переменных.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 

Теорема 3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:

 

Теорема 4. Если между соответствующими значениями трех функций , , выполняются неравенства ≤ ≤ , при этом функции и при (или при ) стремятся к одному и тому же пределу b, то при (или при ) стремится к тому же пределу b.

 

Теорема 5. Если при (или при ) функция у принимает неотрицательные значения y ≥ 0 и при этом стремится к пределу b, то b есть неотрицательное число (b ≥0).

 

Теорема 6. Если между соответствующими значениями двух функций и , стремящихся к пределам при (или при ), выполняется неравенство ≥ , то имеет место .

 

Теорема 7. Если переменная величина возрастает, т.е. всякое ее последующее значение больше предыдущего, и если она ограничена, т.е. <M, то эта переменная величина имеет предел

, где M.

 

Пример 1. Найти предел , применяя теоремы о пределах

 

 

Пример 2. Найти предел

Чтобы раскрыть неопределенность следует числитель и знаменатель поделить почленно на переменную в высшей степени (высшего порядка), стоящую в знаменателе.

 

Пример 3. Найти предел

Чтобы раскрыть неопределенность - при случае х→а отношения двух многочленов, следует в числителе и знаменателе дроби выделить общий множитель вида (х - а) и на него сократить, т.к. под знаком предела х → а, но никогда его не достигает.

.

 

Пример 4. Найти предел .

 

 

Пример 5. Найти предел .

Чтобы раскрыть неопределенность при х → а в случае отношения иррациональных функций, следует начать с умножения на выражение, сопряженное данному иррациональному, с целью последующего выделения общего множителя (х - а) и сокращения,

Пример 6. Найти предел .

 

Пример 7. Найти предел .

Чтобы разрешить неопределенность в данном случае, следует привести выражение к общему знаменателю.

Пример 8. Найти предел

Чтобы разрешить неопределенность в данном случае, следует домножить и разделить на сопряженное выражение.

 

 

Задания для самостоятельной работы

 

Найти пределы:

1) 2) 3)

4) 5)

6) 7)

8) 9) ;

10) ; 11) ;

12) ; 13) ;

14) ; 15)