Билет 65 прямая сумма линейных подпространств

Прямой суммой двух линейных подпространств Lt и L2 векторного -пространства R называется сумма этих подпространств при условии, что их пересечение состоит лишь из нулевого вектора, т.

Если любой вектор x Î X может быть единственным образом представлен в виде x = x₁ + x₂, где x₁ Î X₁ и x₂ Î X₂, то говорят, что пространство X разложено в прямую сумму подпространств X₁ и X₂.

Прямая сумма обозначается X = X₁ + X₂.

Любое линейное пространство может быть разложено в прямую сумму нескольких подпространств. В частности, разложение вектора по базису связано с разложением n–мерного пространства в прямую сумму n одномерных подпространств.

 

 

Билет 66 Прямое дополнение линейного подпространства

Рассмотрим снова линейное пространство V над полем P и линейное

подпространство W V.

Определение 9.3. Линейное подпространство W V называ-

ется прямым дополнением к подпространству W, если

 

W ⊕ W = V. (9.15)

 

Предложение 9.4. Пусть V линейное пространство размерно-

сти n над полем P, а W произвольное линейное подпространство

(размерности k) в пространстве V. Тогда

1) существует прямое дополнение W для подпространства W,

причем размерность любого прямого дополнения равна коразмер-

ности данного пространства:

 

dim(W) = codim(W) = n − k; (9.16)

 

более того,

2) для любого подпространства U V, независимого с W, т. е.

такого, что

W ∩ U = O, (9.17)

существует прямое дополнение к W, содержащее U.