Определение асимптоты кривой. Виды асимптот.

Асимптота кривой – это прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность. Представьте себе мчащийся по прямолинейному шоссе автомобиль и всадника, скачущего по полю с той же скоростью, но направленной в каждый момент на автомобиль. Маршрут всадника в этом случае будет кривой линией, называемой трактрисой, для которой линия шоссе является асимптотой. Если кривая, заданная уравнением у =f(х), удаляется в бесконечность при приближении х к конечной точке а, то прямая х = а называется вертикальной асимптотой этой кривой.

Такими асимптотами являются прямая для гиперболы , каждая из прямых для функции (рис. 1).

Рис. 1
Рис. 2

Помимо вертикальной асимптоты гипербола имеет еще и горизонтальную асимптоту , как и график функции , однако он, в отличие от гиперболы, пересекает свою горизонтальную асимптоту в бесконечном множестве точек (рис. 2)

У кривой, носящей название «декартов лист» (рис. 3), уравнение которой , имеется наклонная асимптота, как и у кривой (рис. 4).

Рис. 3	Рис. 4

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при . Исследование асимптот позволяет более четко представить поведение графика функции, поскольку свойства функции вблизи ее асимптоты очень близки к свойствам хорошо изученной линейной функции. Систематическое использование этого свойства породило целое направление в современной математике - «асимптотические методы исследования». Таким образом, понятие, возникшее еще в Древней Греции, переживает в наше время второе рождение. Не у всякой кривой, уходящей в бесконечность, есть асимптота. Например, известная вам кривая парабола асимптот не имеет.