Операции с нечеткими множествамиОпределение операций, выполняемых с нечеткими множествами, во многом аналогично операциям с обычными (четкими) множествами. Эквивалентность. Два нечетких множества А и В эквивалентны (это Рис. 2.4. Операции с нечеткими множествами Включение. Нечеткое множество А содержится в нечетком множестве В () тогда и только тогда, когда Объединение, или дизъюнкция (disjunction), двух нечетких множеств А и В соответствует логической операции " ИЛИ " и определяется как наименьшее нечеткое множество, содержащее оба множества А и В. Функция принадлежности для этого множества находится с помощью операции взятия максимума (рис.2.4, б) Пересечение, или конъюнкция (conjunction), соответствует логической операции " И " и определяется как наибольшее нечеткое множество, являющееся одновременно подмножеством обоих множеств. Функция принадлежности множества выражается с помощью операции нахождения минимума (рис. 2.4,в) Дополнение (complement) нечеткого множества А, обозначаемое через (или ¯| А), соответствует логическому отрицанию " НЕ " и определяется формулой (рис. 2.4,г) Легко видеть, что применительно к классическим "четким" множествам, для которых функции принадлежности принимают только 2 значения: 0 или 1, формулы определяют известные операции логического "ИЛИ", "И", "НЕ". Приведем определения еще двух достаточно распространенных операций над нечеткими множествами – алгебраического произведения и алгебраической суммы нечетких множеств. Алгебраическое произведение АВ нечетких множеств А и В определяется следующим образом: Алгебраическая сумма : Кроме перечисленных имеются и другие операции, которые оказываются полезными при работе с лингвистическими переменными. Операция концентрации (concentration) CON(А) определяется как алгебраическое произведение нечеткого множества А на самого себя: т.е. В результате применения этой операции к множеству А уменьшаются степени принадлежности элементов х этому множеству, причем если , то это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью принадлежности - относительно велико. В естественном языке применение этой операции к тому или иному значению лингвистической переменной А соответствует использованию усиливающего терма "очень" (например, "очень высокий", "очень старый" и т.д.). Операция растяжения (dilation) DIL(A) определяется как DIL(A)= A 0,5, где Действие этой операции противоположно действию операции концентрации и соответствует неопределенному терму "довольно", выполняющему функцию ослабления следующего за ним (основного) терма А: "довольно высокий", "довольно старый" и т.п. Можно ввести и другие аналогичные по смыслу операции, позволяющие модифицировать значения лингвистической переменной, увеличивая, таким образом, их количество. Так, терм "более чем" можно определить следующим образом: , составной терм "очень-очень": Рассмотрим применение указанных операций на следующем наглядном примере. Пусть переменная х характеризует "возраст человека", X - интервал [0,100]. Тогда нечеткие подмножества, описываемые термами "молодой" и "старый", можно представить с помощью функции принадлежности (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Графическое представление лингвистической переменной “возраст человека" Тогда, в соответствии с выражением, находим (рис. 2.5) Точно так же, используя (2.10) и (2.14), получаем (рис. 2.5) Например, если конкретному человеку исполнилось 55 лет (т.е. х = 55), то в соответствии с данными функциями принадлежности имеем: До сих пор предполагалось, что речь идет о единственной переменной , принимающей значения на вещественной числовой оси. Для случая двух вещественных переменных ( и ) можно говорить о нечетком отношении R: X → Y, которое определяет некоторое соответствие между элементами множества X и множества У с помощью двумерной функции принадлежности μ(х,у): Приведем еще один пример. Допустим, что мы имеем два набора чисел и пусть субъективные мнения экспертов о сравнительной величине этих чисел представлены в виде нечетких отношений: R1(x,y) = "x больше, чем у", R2(x,y) = "x приблизительно равно у". Зададим отношение R1 с помощью табл.2.1, а отношение R2 - с помощью табл. 2.2.
Здесь (i,j) - й элемент таблицы равен значению соответствующей функции принадлежности для i -го значения х и j -гo значения у. Тогда операции объединения и пересечения указанных отношений могут быть интерпретированы как Функции принадлежности и с помощью операций нахождения максимума и минимума, и принимают вид табл. 2.3, 2.4.
|