Студопедия — Сумма и пересечение подпространств
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Сумма и пересечение подпространств






Пусть - подпространства в . Пересечение является подпространством в . Множество всех , представимых в виде , где , образует подпространство, которое называется суммой и обозначается . Размерности указанных подпространств связаны следующим соотношением: .

Задача 9. Пусть - линейная оболочка векторов , а - линейная оболочка векторов . Найти базисы пространств , и , если .

Решение. Найдем базис пространства . Для этого приведем с помощью ЭПС матрицу, составленную из координат всех векторов, к ступенчато-треугольному виду:

.

Векторы образуют базис , а векторы образуют базис . Для нахождения базиса преобразуем матрицу, составленную из координат векторов .

.

Векторы линейно независимы, и, следовательно, образуют базис . Так как , то .

Найдем базис . Пересечение состоит из векторов, которые одновременно являются линейными комбинациями как векторов , так и векторов . Разложим векторы и , входящие в базис , но не входящие в базис , по базису . Пусть . Коэффициенты разложения определяются из системы уравнений .

Решив систему, получим разложение . Следовательно, вектор принадлежит пересечению . Разложив вектор по базису , получим, что вектор принадлежит пересечению и не зависит от вектора . Базис пересечения состоит из векторов и .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Пусть - линейная оболочка векторов , а - линейная оболочка векторов . Найти базисы пространств , и , если:

9.1. . 9.2. .

9.3. . 9.4. .

Ответы

2.1. Является. 2.2. Не является, так как сумма ненулевых векторов, лежащих на осях и соответственно, не лежит ни на одной из них. 2.3. Является, если прямая проходит через начало координат, и не является в противном случае. 2.4. Не является, так как сумма векторов, не лежащих на прямой, может лежать на ней. 2.5. Не является. 2.6. Является, если плоскость проходит через начало координат, и не является в противном случае. 2.7. Не является.

3.1. Не является, так как при умножении вектора с целыми координатами на нецелое число его координаты не останутся целыми. 3.2. Является. 3.3. Не является, так как не содержит нуля. 3.4. Является. 3.5. Является. 3.6. Не является, так как сумма расходящихся последовательностей может быть сходящейся. 3.7. Является. 3.8. Не является, так как не содержит нуля. 3.9. Является. 3.10. Является. Указание. Применив формулу косинуса суммы, эти функции можно представить в виде: .

5.1. Система линейно независима. 5.2. Система линейно зависима, так как вектор является линейной комбинацией векторов . 5.3. Система линейно зависима. 5.4. Система линейно зависима.

6.1. Ранг равен 3. 6.2. Ранг равен 3. 6.3. Ранг равен 3. 6.4. Ранг равен 2.

7.1. В пространстве базис составляет любой ненулевой вектор. В пространствах и базис состоит из пары неколлинеарных и тройки некомпланарных векторов соответственно. 7.2. В пространстве существует канонический базис, для которого числа являются координатами. Этот базис составляют векторы , у которых на месте с номером стоит единица, а на остальных местах нули. 7.3. Базис в пространстве состоит из набора функций . Координатами многочлена в этом базисе являются числа – коэффициенты разложения многочлена по степеням . 7.4. Векторы (см. задачу 7.2.) образуют базис, числа являются координатами векторов в этом базисе. 7.5. Числа однозначно определяют векторы подпространства, поэтому могут являться координатами. Соответствующий базис составляют векторы . 7.6. Базис составляют векторы , где . 7.7. К предыдущему базису надо добавить вектор, у которого на нечетных местах стоят нули, а на четных – единицы. 7.8. Числа однозначно определяют векторы подпространства, поэтому они могут являться координатами. Соответствующий базис составляют векторы , где. . 7.9, 7.10. Базисы состоят, соответственно, из четных и нечетных степеней переменной . 7.11. Каждая симметрическая матрица однозначно определяется матричными элементами , заполняющими верхнюю треугольную матрицу с диагональю. Эти элементы являются координатами в базисе, состоящем из следующих матриц: и (см. задачу 7). Размерность подпространства . 7.12. Каждая кососимметрическая матрица однозначно определяется матричными элементами , заполняющими верхнюю треугольную матрицу без главной диагонали. Эти элементы являются координатами в базисе, состоящем из следующих матриц: . Размерность подпространства .

8.1. , базис – . 8.2. , базис – .

8.3. , базис – . 8.4. , базис – .

9.1. Базис ; базис ; базис ; базис . 9.2. Базис ; базис ; базис ; базис . 9.3. Базис ; базис ; базис ; базис . 9.4. Базис ; базис ; базис ; базис .








Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 872. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Методы анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия   Содержанием анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия является глубокое и всестороннее изучение экономической информации о функционировании анализируемого субъекта хозяйствования с целью принятия оптимальных управленческих...

Образование соседних чисел Фрагмент: Программная задача: показать образование числа 4 и числа 3 друг из друга...

Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗНОС ДЕТАЛЕЙ, И МЕТОДЫ СНИЖЕНИИ СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ Кроме названных причин разрушений и износов, знание которых можно использовать в системе технического обслуживания и ремонта машин для повышения их долговечности, немаловажное значение имеют знания о причинах разрушения деталей в результате старения...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия