Основные свойства определителя1. , где – матрица, транспонированная к матрице . Из этого равенства следует, что любое утверждение, верное для столбцов определителя, верно и для строк определителя и обратно. 2. При умножении произвольной строки определителя на число, определитель умножается на это число. 3. Если строка определителя представлена в виде суммы двух строк, то определитель равен сумме двух определителей, у каждого из которых на месте данной строки стоит одно из слагаемых, а остальные строки прежние. 4. При перестановке двух строк определитель меняет знак. 5. Если строки определителя линейно зависимы, то определитель равен нулю. 6. Определитель не изменится, если к строке прибавить линейную комбинацию других строк определителя. Задача 3(1). Доказать, что определитель равен нулю. Решение. ,так как первый и третий столбцы пропорциональны. Задача 3(2). Доказать, что определитель равен нулю, если - корни уравнения . Решение. По формулам Виета коэффициент при равен сумме корней уравнения с обратным знаком, т.е. . Следовательно, строки определителя линейно зависимы, так как их сумма равна нулю. З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Пользуясь свойствами определителя, доказать, что следующие определители равны нулю. 3.1. . 3.2 . 3.3. . 3.4. .
|