Студопедия — Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами n-го порядка.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами n-го порядка.






Пусть дано дифференциальное уравнение:

(6.9)

с постоянными коэффициентами и .

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (6.9) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Отыскание общего решения соответствующего однородного уравнения осуществляется по правилам, изложенным выше. Частное решение неоднородного уравнения для случая правых частей специального вида находится методом подбора, или иначе, методом неопределенных коэффициентов.

Общий вид правой части уравнения (6.9), при котором применим метод неопределенных коэффициентов, следующий:

. (6.10)

Здесь и – многочлены степени l и m соответственно. В этом случае частное решение уравнения (6.9) ищем в следующем виде:

, (6.11)

где , и – многочлены от степени k общего вида с неопределенными коэффициентами, а – кратность корня характеристического уравнения. (Если не является корнем, то .)

Пример 6.4. Решение уравнения .

Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Его характеристическое уравнение:

имеет корни и . Общее решение однородного уравнения:

.

Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Сравнивая его правую часть с формулой (6.10), видим, что , . Число корнем характеристического уравнения не является, следовательно, . P и Q – многочлены нулевой степени, следовательно, частное решение будем искать в виде

.

Удобно расположить в столбик, написав слева значения коэффициентов из исходного уравнения:

Сложив всё, получим:

,

,

а общее решение неоднородного уравнения

 

Пример 6.5. Решить уравнение

Решение. Однородное уравнение имеет вид

его характеристическое уравнение:

корни .

Общее решение:

Чтобы правильно выбрать вид частного решения неоднородного уравнения согласно формуле (6.11), сравним правую часть уравнения с общим её представлением по формуле (6.10). Очевидно, является однократным корнем характеристического уравнения, поэтому . (В физике это явление называется резонансом, суть его в совпадении собственной частоты колеблющейся системы и частоты приложенной внешней силы.) Кроме того, замечаем, что степени многочленов P и Q – нулевые. Вид частного решения:

.

Подставим в исходное уравнение:

В итоге

;

, .

Общее решение:

 

4275 (1-6). Решить уравнение

,

где равна:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

1. .

Решение. Характеристическое уравнение , его корни , Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде , так как из сопоставления правой части уравнения с формулой (6.10) очевидно, что не является корнем характеристического уравнения, т.е. резонанса нет. Подставив в исходное уравнение, получим

откуда

, .

Общее решение неоднородного уравнения:

 

2. .

Решение. Правая часть уравнения имеет вид , , , следовательно, совпадает с однократным корнем характеристического уравнения, , поэтому вид частного решения неоднородного уравнения . Найдем А:

После сложения получим

, .

Общее решение неоднородного уравнения:

 

3. .

Решение. Правая часть уравнения имеет вид , , , Корни характеристического уравнения не совпадают с числом , следовательно резонанса нет и частное решение имеет вид:

.

Подставив в уравнение, получим

.

Приравняв коэффициенты при и в левой и правой частях равенства, имеем:

откуда , .

В итоге общее решение уравнения:

.

 

4. .

Решение. Частное решение ищем в виде многочлена с неопределенными коэффициентами, степень которого совпадает со степенью многочлена в правой части уравнения:

.

 

После подстановки в уравнение получаем

.

Приравняв коэффициенты при и 1 слева и справа, имеем:

откуда

, , , .

Общее решение уравнения

 

Контрольные вопросы.

 

  1. Запишите общий вид линейного дифференциального уравнения -го порядка.
  2. В каком случае линейное дифференциальное уравнение называется однородным (ЛОДУ), а в каком – неоднородным (ЛНДУ)?
  3. Сформулируйте определения линейно зависимой и линейно независимой системы функций на отрезке.
  4. Сформулируйте определение фундаментальной системы решений ЛОДУ. Как строится общее решение ЛОДУ?
  5. Что такое определитель Вронского системы функций?
  6. Как составляется характеристическое уравнение для данного ЛОДУ?
  7. Выпишите вид ФСР и общего решения ЛОДУ в случаях, если корни характеристического уравнения: а) действительные и различные; б) действительные, но среди них есть кратные; в) комплексные различные; г) комплексные кратные.
  8. Опишите метод неопределенных коэффициентов решения ЛНДУ со специальным видом правой части (неоднородности).

 

 







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 501. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Признаки классификации безопасности Можно выделить следующие признаки классификации безопасности. 1. По признаку масштабности принято различать следующие относительно самостоятельные геополитические уровни и виды безопасности. 1.1. Международная безопасность (глобальная и...

Прием и регистрация больных Пути госпитализации больных в стационар могут быть различны. В цен­тральное приемное отделение больные могут быть доставлены: 1) машиной скорой медицинской помощи в случае возникновения остро­го или обострения хронического заболевания...

ПУНКЦИЯ И КАТЕТЕРИЗАЦИЯ ПОДКЛЮЧИЧНОЙ ВЕНЫ   Пункцию и катетеризацию подключичной вены обычно производит хирург или анестезиолог, иногда — специально обученный терапевт...

Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45   После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия