Теорема условия существования обратной матрицыДля того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. Матрица А = (А1, А2,...Аn) называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы. Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n Системы линейных алгебраических уравнений(СЛАУ)
Теорема Кронекера – Капелли (условие совместности системы) Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
x1
Доказательство. 1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга. 2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше. Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:
A =
~
A* =
|
+ x2 
+ … + xn 
.
RgA = 2.
RgA* = 3.
