Взаимное расположение двух плоскостей.

1). 2)

не меньше 1, так хотя бы 1 элемент отличен от нуля. Пусть 1 и 2 пересекаются они имеют общую линию они имеют общую систему они не параллельны, а так они совместны, значит . Пусть 1 и 2 параллельны: , . Если декартовая система координат, то - нормальные вектора. Косинус угла между двумя векторами:

 

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей:

или

 

20. Различные способы задания прямой в пространстве. Прямая и плоскость. 2 прямые в пространстве. Угол между двумя прямыми. Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений. Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями A₁x+B₁y+C₁z+D₁= 0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂ =0, где коэффициенты A₁,B₁,C₁ и A₂,B₂,C₂ не пропорциональны: A₁x+B₁y+C₁z+D₁ =0; A₂x+B₂y+C₂z+D₂ =0.Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.Составим уравнения прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a ={l,m,n}.Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором. Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М₀М = { x - x₀,y - y₀,z - z₀) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:

называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве. В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки: М₁(х₁, у₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М₁М ₂ = { x₂ – x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁ }, и уравнения (8.11) принимают вид:

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

. Для того, чтобы перейти от уравнений к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [ n₁n₂ ] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений, выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

и косинус угла между ними можно найти по формуле:

. Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

- условие параллельности прямых,

- условие перпендикулярности прямых. Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями

и плоскостью, определяемой общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда

Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а: Al + Bm + Cn = 0, а условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов: A/l = B/m = C/n.

 

 

21. каноническое уравнение эллипса. Свойства. называется линия, кото­рая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением x²/a² + y²/b² = 1, при условии a≥b>0. Из уравнения следует, что для всех точек эллипса │x│≤ a и │у│≤ b. Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2а и 2Ь. Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты (а, 0), (-а, 0), (0, b) и (0, -b), называются вершинами эллипса. Числа а и b называются соответ­ственно большой и малой полу­оси. С1. Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы - его центром симметрии.Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса а с центром в центре эллипса: х² +у² =а². При каждом х таком, что I х I < а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x²/a² и две точки окружности с ординатами ±a√1-x²/ а² Пусть точке эллипса соответствует точка окруж­ности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с²=a² – b² и c≥0.Фокусами называются точки F₁ и F₂ с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R₁=│F₁M│=a- x, r₂ =│F₂M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эл­липсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе коор­динат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее рас­стояния до фокуса к расстоянию до соответствующей ди­ректрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M₀(x₀;y₀) имеет вид: xx₀/a² + yy₀/b² = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M₀(x₀;y₀) есть биссектриса угла, смежного с углом между от­резками, соединяющими эту точку с фокусами

 

 

22. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства. Гиперболой мы назвали линию, которая в неко­торой декартовой прямоугольной системе координат определя­ется каноническим уравнением x²/a² - y²/b² = 1. Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы │x│≥a, т.е. все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины 2а. Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами (а, 0) и (-а, 0), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа а и Ь называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.C1. Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы - центром симметрии.Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде у = кх, поскольку мы уже знаем, что прямая х= 0 не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения x²/a² – k²x²/b² = 1. Поэтому, если b² – a²k²>0, то x = ± ab / √b² – a²k². Это позволяет указать координат точек пересечения (аb/u, аbк/u) и (-аb/и,-аbк/u),где обозначено u = (b² - а²к²)^1/2.

Прямые с уравнениями у = Ьх/а и у = -bх/а в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. C2. Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно а²b² /(а² + b²). C3. Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю. Введем число с, положив с²=а²+b² и с > 0. Фокусами гиперболы называются точки F₁ u F₂ c координатами (c, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение е = с/а, как и для эллипса, называется эксцентри­ситетом. У гиперболы е > 1. C4. Расстояния от произвольной точки М (х, у) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы х: r₁=│F₁M│=│a-ex│, r₂ =│F₂M│=│a+ex│. C5. Для того чтобы точка М лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее рас­стояний до фокусов по абсолютной величине равнялась ве­щественной оси гиперболы 2а. Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями x=a/ , x=-a/ . C6. Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету . Уравнение касательной к гиперболе в точке М₀(х₀,у₀), лежа­щей на ней имеет вид: xx₀/a² - yy₀/b² = 1. C7. Касательная к гиперболе в точке М₀(х₀,у₀) есть биссектриса угла между отрезками, соединяю­щими эту точку с фокусами.

 

23. Каноническое уравнение параболы. Свойства. мы назвали линию, которая в неко­торой декартовой прямоугольной системе координат опреде­ляется каноническим уравнением y² =2рх, при условии р > 0. Из уравнения вытекает, что для всех точек параболы x≥0. Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы. Фокусом параболы называется точка F с координатами (р/ 2, 0) в канонической системе координат. Директрисой параболы называется прямая с уравнением х=-р/2 в канонической системе координат. C1. Расстояние от точки М (х, у), лежа­щей на параболе, до фокуса равно r=x+p/2. C2. Для того чтобы точка М лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одина­ково удалена от фокуса и от директрисы, этой параболы. Параболе приписывается эксцентриситет е = 1. В силу этого соглашения формула r/d=e верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы. Выведем уравнение касательной к параболе в точке М₀(х₀,y₀), лежащей на ней, имеет вид yy₀ = p(x+x₀). C3 Касательная к параболе в точке М_о есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет М_о с фокусом, и лучом, выходящим из этой точки в направлении оси параболы.

 

24. Алгебраические линии. Задать алгебраические линии на плоскость,значит некоторое алгебраическое ур-ие вида F(x,y)=0 и некоторая аффинная система координат окружности на плоскости, тогда те и только те M(x,y),координаты которых удовлетворяют уравнению,считают лежами на данном уравнении.Аналогично задаются уравнения для поверхности в пространстве.Задать алгебр.ур-ие вида F(x,y,z)=0(z) с 3 переменными и некоторую систему координат OXYZтолько те и те точки F(x,y,z)=0(z) являются уравнением плоскости. При этом мы считаем, что два ур-ия определяют одну и туже линию или поверхность т. и т. т.,когда одно из этих ур-ий получается из другого умножением на некоторый числовой множитель лямбда 0.

25. Понятие алгебраической поверхности. Изучениепроизвольных множеств точек-задача совершенно необъятная.Опр.Алгебраической поверхностью называется множество точек,которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида +…+ =0,где все показатели степени-целые неотрицательные числа.Наибольшая из сумм(разумеется,здесь имеется в виду наибольшая из сумм,фактически входящих в уравнение,т.е.предполагается,что после приведения подобных членов найдется хотя бы одно слагаемое с ненулевым коэффициентом,имеющее такую сумму показателей.) + + ,…., + + называется степенью уравнения,а также порядком алгебраической поверхности.Это определение означает,в частности,что сфера,уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид ( +( +( = ,является алгебраической поверхностью второго порядка.Теорема.Алгебраическая поверхность порядка p в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида +…+ =0 порядка p.

 

26. Цилиндрические поверхности 2-го порядка. Пусть плоскость П дана некоторая прямая 2-го порядка и связка параллельных прямых d таких, что для любого d не параллельного П, тогда множество φ всех точек пространства принадлежащих тем прямым связки, которые пересекают линию γ называется направляющими, а прямые пересекающие φ – образующие. Выведем уравнение цилиндрической поверхности, относительно аффинной системы координат. Пусть в некоторой плоскости П лежит некоторая К, уравнение которой F(x,y)=0, в имеет направление а(а₁а₂а₃) d параллелен а. Точка М(x,y,z) лежит на какой-то образующей, а N(x’y’o) – точка пересечения этой образующей с плоскостью П. Вектор MN будет коллинеарен с ta следовательно MN=ta, x’=x+a₁t; y’=y+a₂t; 0=z+a₃t следовательно t= -z/a₃, тогда x’=x- (a₁z)/a₃; y’=y- (a₂z)/a₃ F(x’y’)=0 F(x- (a₁z)/a₃; y- (a₂z)/a₃. Теперь ясно, что уравнение F(x,y)=0 есть уравнение цилиндра с образующими параллельными оси Оy, а F(y,z)=0 с образующими параллельными оси Ох. Частный случай: Пусть прямая связки а параллельна (о,z) следовательно а₁=0 а₂=0 а₃≠0 F(x,y)=0, поэтому сколько линий второго порядка, столько и цилиндров. Поверхности: 1. Эллиптический цилиндр x²/a²+y²/b²=1 2. Гиперболический цилиндр x²/a²-y²/b²=1 3. Параболический цилиндр y²=2πx 4. Пара пересекающихся плоскостей x²/a²-y²/b²=0 5. Пара параллельных плоскостей x²/a²=1

 

27. Канонические поверхности 2-го порядка. Поверхность, на которой имеется точка М_о, обладающая тем свойством, что вместе с каждой точкой М_о≠M содержит прямую (М_оМ), такая поверхность называется канонической или конусом. М_о – вершина конуса, а прямые – ее образующие. Функция F(x,y,z)=0 называется однородной, если F(tx,ty,tz)=φ(t) F(x,y,z), где φ(t) – функция от t. Теорема. Если F(x,y,z) однородная функция, то поверхность, определяемая этим уравнением есть каноническая поверхность с вершиной в начале координат. Док-во. Пусть задана аффинная система координат и от нее задано каноническое уравнение с центром F(x,y,z)=0. Рассмотрим уравнение с вершиной в точке O M(x,y,z)=0, тогда всякая точка OM из F будет иметь вид M₁(tx,ty,tz) на канонической поверхности. M_oM(x,y,z), раз удовлетворяет поверхности, то F(tx,ty,tz)=0 функция однородная φ(t) F(x,y,z)=0 следовательно поверхность каноническая. Кривые 2-го порядка явл сечениями в конечной поверхности плоскостей x²+y²-z²=0/ При сечении канонических поверхностей плоскостями получаем в сечении следующие линии: а) плоскость проходящую через точку или пара слившихся прямых и пара пересекающихся прямых. Б) плоскость не проходит через вершину конуса следовательно получаем в сечении либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу.

28. Поверхности вращения. Пусть в 3-мерном пространстве дан декартовый репер. Плоскость П проходит через Oz, в плоскости Ozy задана γ и угол xOy=φ γ имеет вид u=f(z). Возьмем точку M из γ относительно репера Oxyz. γ – описанная окружность γМ по всем точкам М из γ называется отображением. Сечением поверхности вращения плоскости, проходящей через ось вращения называется меридианом. Сечением поверхности вращения плоскости перпендикулярной оси вращения называется параллельной. Уравнение поверхности вращения x²+y²=f²(z) – уравнение поверхности вращения. 1) Если угол φ=0, то γ лежит в плоскости xOz, x²+y²=f²(z) 2) γ лежит в плоскости xOy и уравнение ее y=g(x), тогда y²+z²=g²(x) 3) γ лежит в плоскости yOz и уравнение ее z=h(y), тогда z²+x²=h²(y)

 

29. Эллипсоиды. Поверхность, которая получается при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Направив вектор е₃ сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим ур-я эллипса в следующих видах: . В силу формулы ур-я соответствующих поверхностей вращения будут = 1 (a>c). Поверхности с такими ур-ями называются сжатым (а) и втянутым (б) эллипсоидами вращения.

Каждую точку М (x, y, z) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости y=0 так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшалось в постоянном для всех точек отношении λ<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’), где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем , где b=λa. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет это ур-е, называется эллипсоидом (в). Если случайно окажется, что b=c, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый. Эллипсоид, так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения видно, чо начало канонической системы координат – центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости – его плоскости симметрии. Эллипсоид можно получить из сферы x²+y²+z²=a² сжатиями к плоскостям у=0 и z =0 в отношениях λ=b/a и μ=с/а.

30. Гиперболоиды. Однополостный гиперболоид вращения – это поверхность вращения гиперболы вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле мы получаем уравнение этой поверхности (рис. 48). В результате сжатия однополостного гиперболоида вращения к плоскости y=0 мы получаем однополостный гиперболоид с ур-ем . Интересное св-во однополостного гиперболоида – наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, всеми точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однопол гиперболоида проходят две прямолинейные образующие, ур-я которых можно получить следующим образом. Ур-е (8) можно переписать в виде . Рассмотрим прямую линию с ур-ями μ =λ , λ =μ (9), где λ и μ – некоторые числа (λ²+μ²≠0). Координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим ур-ям, а следовательно и ур-ю (8), которое получается почленным перемножением. Поэтому каковы бы ни были λ и μ прямая с ур-ями (9) лежит на однополостном гиперболоиде. Таким образом, система (9) определяет семейство прямолинейных образующих. Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения. Пр и сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид вращения – это поверхность, получаемая вращением гиперболы вокруг той оси, которая ее пересекает. По формуле мы получаем ур-е двуполостного гиперболоида вращения В результате сжатия этой поверхности к плоскости y=0 получается поверхность с ур-ем (12). Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет ур-е вида (12), называет двуполостным гиперболоидом (рис. 49). Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две несвязанные между собой части («полости») поверхности. Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного.

31. Параболоиды. Эллиптический параболоид. Вращая параболу x²=2pz вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с ур-ем x²+y²=2pz. Она называется параболоидом вращения. Сжатие к плоскости y=0 переводит параболоид вращения в поверхность, ур-е которой приводится к виду 2z (14). Поверхность, которая имеет такое ур-е в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом. Гиперболический параболоид. По аналогии с ур-ем (14) мы можем написать ур-е Поверхность, которая имеет такое ур-е в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется гиперболическим параболоидом. Из канонического уравнения z= x²/a² - y²/b² гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Охz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Оz называется осью гипер­болического параболоида.. Линии z=h пересечения гиперболического параболоида с плоскостями z=h представляют собой при h > 0 гиперболы x²/a^*2 - y²/b^*2 =1 с полуосями a^*= a√h, b^*=b√h, а при h<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x²/a^*2 - y²/b^*2 =1 с полуосями a^*= a√-h, b^*=b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гипер­болического параболоида. Как и в случае эллиптическо­го параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический па­раболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сече­нием параболоида плоскостью Оуz (Охz).

 

32. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Комплексным числом называется выражение вида z = х + iу, где х и у — действительные числа, i — мнимая единица. Число х называется действительной частью числа z и обозначается Rе(z), а число у — мнимой частью числа z и обозначается Im(z). Числа z = х + iу и z = х - iу называются сопряженными. Два комплексных числа z₁ = х₁ + iу₁ и z₂ = х₂ + iу₂ назы­ваются равными, если равны их действительные и мнимые части. В частности i²=-1. Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом. 1. Сложение: z₁₊z₂=x₁+x₂+i(y₁+y₂); 2.Вычитание: z₁-z₂=x₁-x₂+i(y₁-y₂); 3.Умножение: z₁z₂=(x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+x₂y₁); Деление: z₁/z₂=((x₁x₂+y₁y₂)+i(x₂y₁- x₁y₂))/x₂²+y₂². Для представления к.ч. служат точки коорди­натной плоскости Оху. Плоскость называет­ся комплексной, если каждому к.ч. z = х + iу ставит­ся в соответствие точка плоскости z(х, у), при­чем это соответствие взаимно однозначное. Оси Ох и Оу, на кото­рых расположены дей­ствительные числа z=x+0i=x и чисто мнимые числа z=0+iy=iy, называются соответсвенно действительной и мнимой осями

33. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент j(x=r cosj,y=r sinj), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме z=r(cosj+isinj). Особенности тригонометрической формы: 1)первый множитель неотрицательное число, r³0; 2)записаны косинус и синус одного и того же аргумента; 3) мнимая единица умножена на sinj. Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: z=re^ij. Где e^ij — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени. Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид: z=[r(cosj+isinj)]ⁿ=rⁿ(cosnj+isin nj), где r — модуль, а j — аргумент комплексного числа.

 

34. Операции над многочленами. Алгоритм Евклида. Общий вид уравнения n-ой степени: a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=0 (1). Определяется набор коэффициентов. (а₀,а₁,…,a_n-1,a_n)-произвольные комплексные числа. Рассмотрим левую часть (1): a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n-многочлены n-ой степени. Два многочлена f(x) и g(x) будим считать равными или тождественно равными, если равны коэффициенты при одинаковых степенях. Любой многочлен определяется набором коэффициентов.

Определим операции сложения и умножения над многочленами: f(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ; g(x)=b₀+b₁x+…+b_sx^s n³s; f(x)+g(x)=c₀+c₁x+…+c_nx^n-1+c_n; c_i=a_i+b_i если i=0,1…n; i>s b_i=0; f(x)*g(x)=d₀+d₁x+…+d_n+sx^n+s; ; d₀=a₀b₀; d₁=a₀b₁+a₀b₁; d₂=a₀b₂+a₁b₁+a₂b₀. Степень произведения многочленов равна сумме и операции обладают свойствами: 1)a_k+b_k=b_k+a_k; 2)(a_k+b_k)+c_k=a_k+(b_k+c_k); 3) . Многочлен f(x) называется обратным (x), если f(x)* (x)=1. Во множестве многочленов операция деления не возможна. В Евклидовом пространстве для многочлена существует алгоритм деления с остатком. f(x) и g(x) существуют r(x) и q(x) определены однозначно. ; ; f(x)=g(x); ; . Степень правой части £ степени g(x), а степень левой части отсюда отсюда – мы пришли к противоречию. Доказываем первую часть теоремы: . Домножим g(x) на такой многочлен, чтобы старшие коэффициенты умножались.

1)

2)

после k шагов.

; ; имеет меньшую степень q(x). Многочлен q(x)- частное от f(x), a r(x) –остаток от деления. Если f(x) и g(x) имеют действительные коэффициенты, то q(x) и r(x) – тоже действительные.

35.Делитель многочленов. НОД. Пусть даны два ненулевых многочлена f(x) и j(x)с комплексными коэффициентами. Если остаток равен нулю, то говорят, что f(x) делится на j(x), если j(x) является делителем f(x). Cв-ва многочлена j(x): 1)Многочлен j(x) будет делителем f(x), если существует Y(х) и f(x)= j(x)* Y(х) (1). j(x)-делитель, Y(х) -частное. Пусть Y(х) удовлетворяет (1), тогда из предыдущей теоремы Y(х) является частным, а остаток равен 0. Если(1) выполняется, то j(x)-делитель, отсюда j(x)<= степени f(x). Основные св-ва делимости многочлена: 1) ; 2 f(x) и g(x) делятся на j(х), то делятся на j(x); 3)если ; 4)если f₁(x)..f_k(x):j(x)®f₁g₁ +…+f_kg_k:j(x); 5) всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a_n c ; 6) если f(x):j(x), то f(x):cj(x); 7)Многочлен cf(x) и только они будут делителями многочлена j(х), имеющие такую же степень, что и f(x); 8)f(x):g(x) и g(x):f(x), то g(x)=cf(x); 9)Всякий делитель одного из f(x) и cf(x), с¹0 будет делителем для другого. Опр-ние:Наибольший общий делитель (НОД). Многочлен j(х) будем называть НОД f(x) и g(x), если он делит каждого из них. Многочлены нулевой степени всегда являются НОД и являются взаимопростыми. НОД отличных от нуля многочленов f(x) и g(x) называется d(x), который явл. общим делителем и делится на любой другой делитель и общий этих многочленов. НОД f(x) и g(x)= (f(x):g(x)). Алгоритм нахождения НОД: Пусть степень g(x)<= степениf(x) f(x)=g(x)g₁(x)+r₁(x) g(x)=r₁(x)q₂(x)+r₂(x)

r_k-2(x)=r_k-1(x)q_k(x)+r_k(x)

r_k-1(x)=r₂(x)+q_k(x) r_k(x)-НОД. Докажем. r_k(x) делитель r_k-1(x)®он делитель r_k-2(x)…®он делитель g(x)®делитель f(x). g(x)g₁(x) делится на r_k(x)® f(x)- g(x) g₁(x) делится на r_k(x)® r₁(x) делится на r_k(x)® r₂(x) делится на r_k(x)®… q_k(x): r_k(x) делится на r_k(x).