Студопедия — Нахождение точки экстремум. Наименьшего и наибольшего значения.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Нахождение точки экстремум. Наименьшего и наибольшего значения.






Экстремум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Определение 1. Точку х =х0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х =х0) выполняется неравенство:
f(х)>f(х0).

Определение 2. Точку х = х0 называют точкой максимума функции у=f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, кроме самой точки х = х0, выполняется неравенство:
f(х)<f(х0).

1. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

2. Пусть функция у=f(х) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x0. Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при х<х0 выполняется неравенство f(x) < 0,а при x > x0 — неравенство f"x)>0, то x =x0 — точка минимума функции У=f(х);
б) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при x < x0 выполняется неравенство f"(x) > О, а при x > x0
неравенство f(х) < О, то x = x0 — точка максимума функции У=f(х);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x = x0 экстремума нет.

 

АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ у = f(х) НА МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ
1. Найти производную f'(х).
2. Найти стационарные и критические точки.
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
4. Сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума.

Пример 6. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.
Решение. Заметим, что функция всюду непрерывна, кроме точки х = 0. Воспользуемся указанным выше алгоритмом.
1) Найдем производную заданной функции:


2) Производная обращается в нуль в точках х = 2 и х = -2 — это стационарные точки. Производная не существует в точке х = 0, но это не критическая точка, это точка разрыва функции (полюс).


3) Отметим точки -2, 0 и 2 на числовой прямой и расставим знаки производной на получившихся промежутках (рис. 140).
4) Делаем выводы: на луче(-°°, -2] функция убывает, на полуинтервале [-2, 0) функция возрастает, на полуинтервале (0, 2] функция убывает, на луче [2, + функция возрастает.
Далее, х = -2 — точка минимума, причем (подставили значение x= -2 в формулу
Аналогично устанавливаем, что и х = 2 точка минимума, причем

 

3. Построение графиков функций
За годы изучения курса алгебры в школе вы накопили достаточно большой опыт построения графиков функций. В основном вы строили графики «по точкам», т.е. для заданной функции у = f(х) находили контрольные точки и т.д., отмечали их на координатной плоскости и, полагаясь на интуицию, соединяли найденные точки плавной кривой. Как выбирали эти контрольные точки? Иногда обдуманно, например, строили вершину параболы у=ах2 +Ъх+с или специально искали точки пересечения графика с осями координат. Но чаще выбор контрольных точек был случайным, «по наитию».
Графики любых функций строят по точкам. Но в тех случаях, когда вид графика заранее неизвестен, эти точки надо выбирать со смыслом — уметь выделять особо важные точки графика, которые определяют его структуру. Об этом мы уже говорили выше, когда строили графики функций у=2х3 +3х2 -1 и у=Зх4 -16х3 +24х2 -11. К особо важным точкам графика функции у = f(х) относят:
— стационарные и критические точки;
— точки экстремума;
— точки пересечения графика с осями координат;
— точки разрыва функции.
В тех случаях, когда речь идет о построении графика незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять определенную схему исследования свойств функции, которая помогает составить представление о ее графике. Когда такое представление составится, можно приступить к построению графика по точкам.
В курсе математического анализа разработана универсальная схема исследования свойств функции и построения графика функции, позволяющая строить весьма сложные графики. Для наших нужд будут достаточны упрощенные варианты указанной схемы.
1) Если функция у = f(х) непрерывна на всей числовой прямой, то достаточно найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек. Именно так мы действовали в этом параграфе, когда строили графики следующих функций:


2) Если функция у - f(х) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с отыскания области определения функции (если, конечно, она не задана) и с указания ее точек разрыва.
3) Полезно исследовать функцию на четность, поскольку графики четной или нечетной функции обладают симметрией (соответственно относительно оси у или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при х>0, а затем достроить симметричную ветвь.

 

Например, для функции ее график (гипербола) изображен на рис. 141 — вертикальной асимптотой является прямая х = 1. Если х -»1, то знаменатель данной дроби становится (по модулю)
все меньше и меньше, точнее: (х-1) —>0; соответственно сама дробь становится (по модулю) все больше и больше, точнее:

Самый распространенный признак существования вертикальной асимптоты заключается в следующем:

если и при х = а знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то х = а —вертикальная асимптота графика функции у = f(x).

 

 

Задания для самостоятельного решения на понимание пройденной темы:

1. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

1)

2)

3)

 

 

2. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке:

1)

 

 

3. Найдите, если возможно, наименьшее и (или) наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке:

1)

2)

 

 

4. При каких значениях параметра функция возрастает на всей числовой прямой?

1)

2)

 

 

 







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 1189. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Виды сухожильных швов После выделения культи сухожилия и эвакуации гематомы приступают к восстановлению целостности сухожилия...

КОНСТРУКЦИЯ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ ВАГОНА Тип колёсной пары определяется типом оси и диаметром колес. Согласно ГОСТ 4835-2006* устанавливаются типы колесных пар для грузовых вагонов с осями РУ1Ш и РВ2Ш и колесами диаметром по кругу катания 957 мм. Номинальный диаметр колеса – 950 мм...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия