Модуль и аргумент комплексного числа. Модулем комплексного числа z=a+bi=(a,b) называют длину радиус-вектора, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскостиМодулем комплексного числа z=a+bi=(a,b) называют длину радиус-вектора, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен: Аргументом отличного от нуля комплексного числа z называют направленный угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором, изображающим данное комплексное число. Обозначается: arg z=arg(a+bi)=φ cosφ=a/r → a=r*cosφ; sinφ=b/r → b=r*sinφ Свойства модуля и аргумента комплексных чисел: z1=r(cosφ+isinφ); arg z1=φ; |z1|=r; z1≠0 z2=ρ(cosψ+isinψ); arg z2=ψ; |z2|=ρ; z2≠0 Модуль произведения двух комплексных чисел z1 и z2 равен произведению модулей сомножителей. Аргумент произведения двух комплексных чисел z1 и z2 равен сумме аргументов сомножителей. z1*z2=r(cosφ+isinφ)*ρ(cosψ+isinψ)=r*ρ[cosφcosψ+icosφsinψ+isinφcosψ+i2sinφcosψ]=r*ρ[(cosφcosψ-sinφsinψ)+(cosφsinψ+sinφcosψ)i]=r*ρ[cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ)] |z1*z2|=r*ρ=|z1|*|z2| Arg(z1*z2)=φ+ψ=argz1+argz2 Модуль частного двух комплексных чисел z1 и z2 равен частному от деления |z1| и |z2| Аргумент частного двух комплексных чисел z1 и z2 равен разности аргумента делимого и делителя. z1/z2=r(cosφ+isinφ)/ρ(cosψ+isinψ)=r(cosφ+isinφ)(cosψ-isinψ)/ρ(cosψ+isinψ)(cosψ-isinψ) =r(cosφcosψ+isinφcosψ-icosφsinψ-i2sinφsinψ)/ρ[cos2ψ-(isinψ)2] =r[(cosφcosψ+sinφsinψ)+(sinφcosψ-cosφsinψ)i]/ρ[cos2ψ+sin2ψ]=r\ρ *[cos(φ-ψ)+isin(φ-ψ)] |z1|/|z2|=r/ρ; arg |z1|/|z2|=φ-ψ=argz1-argz2 Теорема об аргументе: argz=arg(a+bi)={arccos a/r, при b≥0; 2π-arccos a/r, при b<0}
|
