Доказательство. Выберем в L какой-нибудь базис e1, e2, , en, а в L’ – какой-либо базис e’1, e’2, , e’nВыберем в L какой-нибудь базис e1, e2,…, en, а в L’ – какой-либо базис e’1, e’2,…, e’n. Поставим в соответствие каждому элементу x=x1e1+x2e2+…+xnen пространства L элемент x’=x1e’1+x2e’2+…+xne’n пространства L’ (то есть мы берем в качестве x’ тот элемент пространства L’, который относительно базиса e’1, e’2,…, e’n те же самые координаты, что и элемент x относительно базиса e1, e2,…, en). Убедимся в том, что установленное соответствие является взаимно однозначным. В самом деле, каждому элементу x пространства L однозначно соответствуют координаты x1, x2,…, xn, которые в свою очередь определяют единственный элемент x’ пространства L’. В силу равноправности пространств L и L’ каждому элементу x’ пространства L’ в свою очередь соответствует единственный элемент x пространства L (Соответствие между элементами двух множеств L и L’ называется взаимно однозначным, если при этом соответствии каждому элементу L отвечает один и только один элемент L’, причем каждый элемент L’ отвечает одному и только одному элементу L). Остается заметить, что элементам x и y пространства L отвечают соответственно элементы x’ и y’ пространства L’, то в силу теоремы об операциях над элементами двух линейных пространств, выраженных в координатах, элементу x+y отвечает элемент x’+y’, а элементу λx отвечает элемент λx’. Теорема доказана. (Единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность)
Предположим, что некоторое подмножество K линейного пространства L удовлетворяет следующим двум требованиям: 1) Если элементы x и y принадлежат подмножеству K, то и сумма x+y принадлежит этому подмножеству. 2) Если элемент x принадлежит подмножеству K, а λ – любое вещественное число, то и элемент λx принадлежит подмножеству K. Определение. Подмножество K линейного пространства L, удовлетворяющее двум требованиям, называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства L.
|
