Доказательство. Обозначим через K0 пересечение K1 и K2, а через K’ – сумму K1 и K2

Обозначим через K₀ пересечение K₁ и K₂, а через K^’ – сумму K₁ и K₂. Считая K₀ k-мерным, выберем в нем базис e₁, e₂,…, e_k. Дополним базис до базиса e₁,…e_k, g₁,…, g_l в подпространстве K₁ и до базиса e₁,…, e_k, f₁,…, f_m в подпространстве L₂. Достаточно доказать, что элементы g₁,…, g_l, e₁,…, e_k, f₁,…, f_m являются базисом суммы K^’ подпространств K₁ и K₂. Для этого в свою очередь достаточно доказать, что элементы g₁,…, g_l, e₁,…, e_k, f₁,…, f_m линейно независимы и что любой элемент x суммы K^’ представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов g₁,…, g_l, e₁,…, e_k, f₁,…, f_m.

Сначала докажем, что элементы g₁,…, g_l, e_k, f₁,…, f_m линейно независимы. Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов g₁,…, g_l, e₁,…, e_k, f₁,…, f_m представляет собой нулевой элемент, то есть справедливо равенство α₁g₁+…+α_lg_l+β₁e₁+…+β_ke_k+γ₁f₁+…+γ_mf_m=0 или α₁g₁+…+α_lg_l+β₁e₁+…+β_ke_k=-γ₁f₁-…-γ_mf_m. Так как левая часть является элементом K₁, а правая часть является элементом K₂, то как левая, так и правая часть принадлежит пересечению K₀ подпространств K₁ и K₂. Отсюда следует, в частности, что правая часть представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов e₁, e₂,…, e_k, то есть найдутся такие числа λ₁,…, λ_k, что -γ₁f₁-…-γ_mf_m=λ₁e₁+…+λ_ke_k.

В силу линейной независимости базисных элементов e₁,…, e_k, f₁,…, f_m равенство -γ₁f₁-…-γ_mf_m=λ₁e₁+…+λ_ke_k возможно лишь в случае, когда все коэффициенты γ₁,…γ_m, λ₁,…, λ_k равны нулю. Но при этом из α₁g₁+…+α_lg_l+β₁e₁+…+β_ke_k+γ₁f₁+…+γ_mf_m=0 мы получим, что α₁g₁+…+α_lg_l+β₁e₁+…+β_ke_k=0. В силу линейной независимости базисных элементов e₁,…e_k, g₁,…, g_l равенство α₁g₁+…+α_lg_l+β₁e₁+…+β_ke_k=0 возможно лишь в случае, когда все коэффициенты α₁,…,α_l,β₁,…, β_k равны нулю. Тем самым мы установили, что равенство α₁g₁+…+α_lg_l+β₁e₁+…+β_ke_k+γ₁f₁+…+γ_mf_m=0 возможно лишь в том случае, когда все коэффициенты α₁,…,α_l,β₁,…, β_k, γ₁,…γ_m равны нулю, а это и доказывает линейную независимость элементов g₁,…, g_l, e₁,…, e_k, f₁,…, f_m.

Остается доказать, что любой элемент x суммы K^’ представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов g₁,…, g_l, e₁,…, e_k, f₁,…, f_m, но это сразу следует из того, что этот элемент x представляет собой (по определению K^’) сумму некоторого элемента x₁ подпространства K₁, являющегося линейной комбинацией элементов e₁,…e_k, g₁,…, g_l, и некоторого элемента x₂ подпространства K₂, являющегося линейной комбинацией элементов e₁,…, e_k, f₁,…, f_m. Теорема доказана.

1. Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Определение и теорема.

Пусть L₁ и L₂ – два подпространства линейного n-мерного пространства L.

Определение. Пространство L представляет собой прямую сумму подпространств L₁ и L₂, если каждый элемент x пространства L может быть единственным способом представлен в виде суммы x=x₁+x₂ элемента x₁ подпространства L₁ и элемента x₂ подпространства L₂.

Обозначение. L=L₁ L₂ (Разложение пространства L в прямую сумму подпространств L₁ и L₂)

Теорема. Для того чтобы n-мерное пространство L представляло собой прямую сумму подпространств L₁ и L₂, достаточно, чтобы пересечение L₁ и L₂ содержало только нулевой элемент и чтобы размерность L бы равна сумме размерностей подпространств L₁ и L₂.