Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду

Для исследований приведем общее уравнение линии второго порядка к одному из канонических видов.

Существует такая система координат, в которой уравнение (1) не содержит произведения xy, то есть B = 0.

Пусть координаты точки M в системе координат XOY. Повернем оси координат на угол в положительном направлении и обозначим (x', y') координаты точки M в новой системе координат X'OY'. (чертеж 1.)

Чертеж 1.

Найдем связь между этими координатами. Очевидно, что:

(так как ); (2)

(так как ); (3)

Рассмотрим . Так как он прямоугольный, то , . (4)

Рассмотрим теперь . Он также прямоугольный, поэтому , . (5)

Таким образом, с учетом того, что , из равенств (2)-(5) получим: (6)

Следовательно, система (6) представляет собой выражение старых координат через новые при повороте XOY на угол α вокруг О (0,0).

Замечание. Для того чтобы получить выражение новых координат через старые, достаточно угол α в формулах (6) заменить на угол (−α), так как при повороте системы координат X′OY ′ на угол (−α) мы получим систему XOY.

Подставим формулы (6) в уравнение (1), получим:

Соберем коэффициенты при соответствующих неизвестных.

При , получим:

,

При :

, (7)

При :

,

При :

,

При :

.

Таким образом, уравнение (1) с учётом замены (6) принимает вид:

(8)

Подберем угол таким образом, чтобы коэффициент . Из (7) следует, что поэтому

После данного преобразования уравнение (1) примет вид:

. (9)

Докажем, что при повороте на любой угол α имеет место равенство:

(10)

Так как мы подобрали угол α так, что , то из (10) следует, что

. (11)

Чтобы проанализировать уравнение кривой (9), рассмотрим три

случая:

1) (эллиптический случай);

2) (гиперболический случай);

3) (параболический случай).

Подробнее рассмотрим эллиптический случай. Из следует, что , то есть знаки совпадают. Пусть A′ > 0, C′ > 0. Выделим полные квадраты при неизвестных x′, y′, получим:

Дополним члены, содержащие x’ и y’,до полного квадрата:

, (12)

где

Положим , тогда уравнение (12) примет вид: . (13)

a) Пусть . Разделим обе части уравнения (13) на , получим:

(14)

Так как и , то предположим, что . (15)

Из (14) и (15) следует, что мы получили каноническое уравнение эллипса

b) Пусть F′ > 0, тогда в уравнении (13) слева стоит неотрицательное число, а справа - отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих данному уравнению, не существует.

c) Пусть F′ = 0. Тогда уравнению (13) удовлетворяет только одна точка , то есть точка с координатами

Рассмотрим гиперболический случай. Из следует, что , то есть числа имеют разные знаки. Выполняя аналогичные преобразования, как и для эллиптического случая, получим уравнение кривой:

a) Предположим, что . Отсюда:

(16)

Так как и разных знаков, следовательно, одна из скобок больше нуля, другая скобка меньше нуля. Пусть (17)

тогда мы получаем каноническое уравнение гиперболы:

b) При уравнение принимает вид: (18)

Пусть , тогда и уравнение (18) примет вид: откуда Таким образом, получили уравнения двух пересекающихся прямых.

Рассмотрим параболический случай. Так как , то .

a) Пусть . Так как после поворота , то уравнение (9) преобразуется до вида: (19)

Соберём члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

тогда уравнение (19) примет вид: или , (20)

где . Из (20) следует, что

Рассмотрим два случая:

· Пусть , тогда , то есть (21)

где

Положим , тогда уравнение (21) примет вид:

Это каноническое уравнение параболы, симметричной относительно

оси (OY).

· Пусть , тогда уравнение (20) перепишется в виде

(22)

1. Если , то получим уравнение оси (OY) .

2. Если , то возможны два случая. Если A′ и F′ одного знака, то точек, удовлетворяющих данному уравнению, нет; если же A′ и F′ разных знаков, то , где , поэтому и уравнение (22) описывает две параллельные прямые:

b) Пусть , тогда уравнение (9) примет вид

(23)

Если , а , то точек, удовлетворяющих уравнению (23), нет; если же или отличны от нуля, то уравнение (23) описывает прямую.

 

Вывод. Путем преобразований кривой второго порядка, определяемой уравнением (1) мы можем получить уравнения таких линии второго порядка, как:

1. - уравнение эллипса

2. - уравнение гиперболы

3. - уравнение параболы

4. - совокупности двуз пересекающихся прямых

5. - совокупности двух параллельных прямых

 

 

Содержание темы «Линии второго порядка» в элементарной математике

В математике рассматриваются линии второго порядка, как конические сечения: окружность, эллипс, гипербола, парабола; или как множество точек обладающих некоторыми свойствами.

Рассмотрим каждую линию второго порядка подробнее, определяя линии как множество точек.

ОКРУЖНОСТЬ

Определение 1.1. Окружность - множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки М₀, называемой ее центром.[9.С.65]

Общий вид уравнения