Студопедия — Модель Вальтера-Лотке.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Модель Вальтера-Лотке.






Рассмотрим математическую модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа "хищник - жертва", называемую моделью Вольтерра - Лотки.

Впервые она была получена А.Лоткой (1925 г.), который использовал для описания динамики взаимодействующих биологических популяций. Чуть позже и независимо от Лотки аналогичные (и более сложные) модели были разработаны итальянским математиком В. Вольтерра (1926 г.), глубокие исследования которого в области экологических проблем заложили фундамент математической теории биологических сообществ или так называемой математической экологии.

Модель, которую мы рассмотрим, интересна, пожалуй, как раз тем, что с нее, по существу, и началась математическая экология.

Пусть есть два биологических вида, которые совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который будем называть жертвой. Другой вид - хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида.

Это могут быть караси и щуки, зайцы и волки, мыши и лисы, микробы и антитела и т. д.... Будем для определенности называть их карасями и щуками.

Караси и щуки живут в некотором изолированном пруду. Среда предоставляет карасям питание в неограниченном количестве, а щуки питаются лишь карасями.
Обозначим

у - число щук,

х - число карасей.

Со временем число карасей и щук меняется, но так как рыбы в пруду много, то не будем различать 1020 карасей или 1021 и поэтому будем считать х и у непрерывными функциями времени t.
Будем называть пару чисел (х, у) состоянием модели. Попробуем определить, как состояние меняется с течением времени.

Надо сказать, что в биологии дело обстоит значительно сложнее, чем, скажем, в механике, где само понятие состояния формализовано и существуют законы Ньютона, позволяющие описать изменение состояния. В биологии этого пока нет.

Попробуем из самых простых соображений найти, как меняется состояние (х, у).

Рассмотрим x' - скорость изменения численности карасей.

Если щук нет, то число карасей увеличивается и тем быстрее, чем больше карасей.

Будем считать, что эта зависимость линейная: x' 1 x, причем коэффициент 1 зависит только от условий жизни карасей, их естественной смертности и рождаемости.

Скорость изменения y' числа щук (если нет карасей), зависит от числа щук y.

Будем считать, что y' 2 y. Если карасей нет, то число щук уменьшается (у них нет пищи) и они вымирают.

В экосистеме скорость изменения численности каждого вида также будем считать пропорциональной его численности, но только с коэффициентом, который зависит от численности особей другого вида. Так, для карасей этот коэффициент уменьшается с увеличением числа щук, а для щук увеличивается с увеличением числа карасей. Будем считать эту зависимость также линейной.

Тогда получим систему из двух дифференциальных уравнений:

x' = 1 x - 1 yx,
y' = - 2 y + 2 xy.

Эта система уравнений и называется моделью Вольтерра-Лотки. Числовые

коэффициенты 1, 1, 2, 2 называются параметрами модели. Очевидно, что характер изменения состояния (x, y) определяется значениями параметров.

Изменяя параметры и решая систему уравнений модели можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы. Именно это позволит вам сделать наша модель, которая находит решение уравнения Вольтерра - Лотки и выводит кривые x(t) и y(t) на экран.


Рисунок 1 Модель Вальтера-Лотке

 

В качестве примера на рисунке построены кривые изменения численности карасей x и щук y в зависимости от времени t для некоторых типичных значений параметров.

Максимумы кривых чередуются, причем максимумы щук отстают от максимума карасей. Это отставание разное для разных экосистем типа "хищник - жертва", но, как правило, много меньше периода колебаний.

Несмотря на то, что рассмотренная модель является простейшей и в действительности все происходит много сложнее, она позволила объяснить кое-что из загадочного, что есть в природе. Перестали быть загадкой счастливые для рыболовов периоды, когда в водоеме оказывается громадное количество рыбы (из рисунка видно, что продолжаются они очень недолго).

Получила объяснение периодичность в протекании хронических заболеваний, стало отчасти ясно, почему течение болезни зависит от фазы и интенсивности проводимого лечения. Действительно, как протекает хроническое заболевание?

Обострение сменяется улучшением и опять все снова повторяется. Болезнь связана с наличием "хищника" (микроб, вирус), который поедает что-то в организме "жертвы".

Обострение бывает, когда "хищника" много

- верхние участки кривых на рисунке.

Улучшение самочувствия соответствует спадающим участкам,

- нижние участки (когда совсем хорошо).

И снова наступает ухудшение

- возрастающие участки кривой.

Обострение тем сильнее, чем больше амплитуда кривой.

В состоянии равновесия и около него болезнь слабо выражена. Вы больны, но обострения у вас нет. Наконец, вам надоедает такое состояние, и вы идете к врачу. Врач дает лекарство, вы его принимаете и уничтожаете почти всех "хищников".

Сейчас подобные экологические модели строятся при лечении различных хронических заболеваний, в частности, при борьбе с хроническими инфекциями. Строится экологическая модель болезни с учетом всех иммунных факторов и лечение производится в соответствии с этой моделью.







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 1418. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Понятие массовых мероприятий, их виды Под массовыми мероприятиями следует понимать совокупность действий или явлений социальной жизни с участием большого количества граждан...

Тактика действий нарядов полиции по предупреждению и пресечению правонарушений при проведении массовых мероприятий К особенностям проведения массовых мероприятий и факторам, влияющим на охрану общественного порядка и обеспечение общественной безопасности, можно отнести значительное количество субъектов, принимающих участие в их подготовке и проведении...

Тактические действия нарядов полиции по предупреждению и пресечению групповых нарушений общественного порядка и массовых беспорядков В целях предупреждения разрастания групповых нарушений общественного порядка (далееГНОП) в массовые беспорядки подразделения (наряды) полиции осуществляют следующие мероприятия...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической   Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....

Типовые ситуационные задачи. Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт. ст. Влияние психоэмоциональных факторов отсутствует. Колебаний АД практически нет. Головной боли нет. Нормализовать...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия