Решение. Поле состоит из 25 элементов вида , где и - элементы

Поле состоит из 25 элементов вида , где и - элементы . Эти элементы складываются и умножаются как многочлены от , при умножении заменяется на .

1) Согласно главной структурной теореме в каждом конечном поле имеется примитивный элемент, степени которого дают все ненулевые элементы поля. Этот элемент, таким образом, имеет мультипликативный порядок, равный 24; наоборот, любой элемент 24-го порядка является примитивным. Порядки остальных элементов являются делителями 24, то есть могут равняться
1,2,3,4,6,8 или 12.

Элемент , при помощи которого построено поле, примигивным не является, так как

Отсюда следует, что - элемент 8-го порядка.

Эффективного способа отыскания в конечном поле примитивного элемента не известно. Приходится перебирать элементы, выясняя их порядок. Рассмотрим, например, элемент . Имеем

то есть Пусть порядок Так как , то то есть - примитивный элемент. В таблице ненулевые элементы выражены как степени .

 

 

 

 

 

2) Порядок элемента равен . Отсюда находим

элементы 1-го порядка: ;

элементы 2-го порядка: ;

элементы 3-го порядка: ;

элементы 4-го порядка: ;

элементы 6-го порядка: ;

элементы 8-го порядка: ;

элементы 12-го порядка: ;

элементы 24-го порядка: .

 

3) Минимальным многочленомэлемента конечного поля характеристики р называется многочлен наименьшей степени , корнем которого является данный элемент. Если поле с стоит из элементов, то все элементы поля являются корня ми многочлена . Отсюда следует, что минимальные многочлены - это неприводимые множители многочлена .

Для решения задачи используются два факта из теории:

1. Степени веприводимых делителей многочлена являются делителями числа n;

2. Если элемент является корнем многочлена ,то элемент также является корнем многочлена ).

В данной задаче n = 2, поэтому все минимальные многочлены имеют первую или вторую степень; р = 5, поэтому, если элемент является корнем многочлена, то и пятая степень элемента также является корнем того же многочлена.

Для элементов -2, -1, 0,1,2, входящих в простое подполе , минимальными многочленами будут многочлены 1-й степени х + 2, х + 1, х, х - 1, х - 2, соответственно. Для остальных 20 элементов минимальные многочлены имеют вторую степень и могут быть вычислены следующим образом. Пусть требуется найти минимальный многочлен элемента . Вторым корнем этого многочлена будет , отсюда по формулам Виета

Для вычислений используем таблицу нашего поля из решения 1). Например, для отыскания минимального многочлена элемента действуем так. Вторым корнем минимального многочлена является . По таблице находим

Следовательно, минимальный многочлен равен Вычисления сведем в таблицу.

 

 

4) Решить систему

Найдем решение по правилу Крамера, используя для вычи­слений таблицу поля , построенную выше при решении пункта 1).

Имеем

Чтобы выполнить деление, представим операнды как степени

примитивного элемента :