Системы координат и векторы

Для дальнейшего изложения нам понадобятся некоторые сведения из аналитической геометрии и линейной алгебры. Не ставя перед собой задачу подробного рассмотрения всех этих вопросов, приведем (или напомним) те основные понятия и операции, которые используются в алгоритмах компьютерной графики.

Две взаимно перпендикулярные пересекающиеся прямые с заданным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Точка пересечения O называется началом координат, прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью OX, или осью абсцисс, другую - осью OY, или осью ординат. Эти оси также называют координатными осями.

Возьмем произвольную точку на плоскости с заданной системой координат. Пусть и - проекции этой точки на оси абсцисс и ординат соответственно, причем длина отрезка равна , а длина равна . Тогда пара чисел называется декартовыми координатами точки на плоскости (абсциссой и ординатой точки).

Три взаимно перпендикулярные пересекающиеся прямые с заданным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве. Так же как и в случае плоскости, точка пересечения O называется началом координат, прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью OX, или осью абсцисс, другую - осью OY, или осью ординат, третью - осью OZ, или осью аппликат.

Пусть , и - проекции произвольной точки в пространстве на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно, причем длина отрезка равна , длина равна , а длина равна . Тогда тройка чисел называется декартовыми координатами точки в пространстве (абсциссой, ординатой и аппликатой точки).

Рис. 3.1. Система координат на плоскости

Пусть на плоскости задана декартова система координат. Возьмем две точки с координатами и соответственно. Тогда, используя терему Пифагора, можно получить, что расстояние между этими двумя точками выражается формулой

Расстояние между двумя точками в пространстве с координатами и выражается аналогичной формулой:

Рис. 3.2. Система координат в пространстве

Отрезок на плоскости и в пространстве задается с помощью двух точек, указывающих его границы. Геометрическим вектором, или просто вектором в пространстве, будем называть отрезок, у которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом (т.е. указано направление вектора). Начало вектора называют точкой его приложения. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Векторы считаются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Таким образом, все векторы, получающиеся параллельным переносом из одного и того же вектора, равны мeжду собой. Любая точка на плоскости и в пространстве может рассматриваться как вектор, начало которого совпадает с началом координат (радиус-вектор), а каждый вектор, перенесенный в начало координат, задает своим концом единственную точку пространства. Поэтому любой вектор может быть представлен совокупностью своих координат в декартовой системе.

Линейными операциями над векторами принято называть операции сложения векторов и операцию умножения вектора на число.

Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Перечислим основные свойства операции сложения векторов:

• 
• 
• Существует нулевой вектор , такой, что для любого вектора .
• Для каждого вектора существует противоположный ему вектор , такой, что

.

Разностью двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и направление, совпадающее с направлением вектора при и противоположное направлению при . Геометрический смысл умножения вектора на число состоит в том, что длина вектора увеличивается в раз.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

• (распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов);
• (распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел);
• (сочетательное свойство числовых сомножителей);
• если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует вещественное число , такое, что .

Линейной комбинацией векторов и называется вектор . При этом числа и называются коэффициентами разложения вектора по векторам и .

Если два вектора и заданы своими координатами и , то операции над ними легко выразить через эти координаты:

Векторы , и называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Векторы называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно только в случае равенства нулю коэффициентов и .

Справедливы следующие свойства:

• Каковы бы ни были неколлинеарные векторы и , для любого вектора , лежащего в одной плоскости с ними, существуют числа и , такие, что , причем такая пара чисел для каждого вектора единственная. Такое представление вектора называется разложением по векторам и .
• Каковы бы ни были некомпланарные векторы , и , для любого вектора существуют числа , и , такие, что , причем эта тройка чисел для каждого вектора - единственная (разложение вектора по векторам ).
• Любые три вектора в системе координат плоскости являются линейно зависимыми.
• Любые четыре вектора в системе координат пространства являются линейно зависимыми.

Говорят, что пара линейно независимых векторов на плоскости (тройка линейно независимых векторов в пространстве) образуют базис, поскольку любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов. Коэффициенты разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе. Если векторы базиса взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину, то базис называется ортонормированным, а векторы базиса называются ортами. Таким образом, базис из единичных векторов, направленных вдоль осей декартовой системы координат, является ортонормированным.

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Будем обозначать скалярное произведение векторов символом . Тогда скалярное произведение можно выразить формулой

Несложно доказать следующие свойства данной операции.

• Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.
• Если угол между двумя векторами острый, то скалярное произведение этих векторов положительно, если же угол тупой, то скалярное произведение отрицательно.
• (свойство коммутативности).
• (сочетательное относительно числового множителя свойство).
• (распределительное относительно суммы векторов свойство).
• Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату длины вектора.

Приведем некоторые формулы, связанные с разложением вектора в декартовой системе координат.

Пусть векторы и заданы своими координатами и . Тогда их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

(3.1)

Отсюда следует условие перпендикулярности векторов:

И, наконец, косинус угла между векторами вычисляется по формуле

(3.2)

Теперь расстояние между двумя точками с координатами и можно выразить через скалярное произведение соответствующих векторов:

Введем еще одно понятие, касающееся векторов. Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой - вторым и какой - третьим. При записи тройки векторов будем располагать эти векторы в порядке их следования. Так, запись означает, что первым вектором тройки является вектор , вторым - , третьим - .

Тройка векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор располагается по ту сторону от плоскости, содержащей векторы , , откуда кратчайший поворот от к кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом и удовлетворяющий следующим требованиям:

· длина вектора равна произведению длин векторов , на синус угла между ними, т.е.

· вектор ортогонален векторам , ;

· вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

Приведем (без доказательства) основные свойства векторного произведения.

• (антисимметричность);
• (сочетательное свойство относительно умножения на число);
• (распределительное свойство относительно сложения);
• для любого вектора .

Ясно, что векторное произведение двух коллинеарных векторов дает нулевой вектор. Выведем теперь формулу для векторного произведения. Пусть базисные векторы декартовой системы координат образуют правую тройку. Тогда справедливы следующие соотношения:

Если заданы два вектора и , то, учитывая свойства векторного произведения, отсюда легко вывести, что

где

(3.3)