Точные грани ограниченного числового множества.

Тэхнiчны дызайн i вёрстка А.I. Будзько

Карэктар Я.М. Бяганскi

Падпiсана да друку 24.12.2006 г. Папера афсетная. Фармат 60х90 1/8.

Ул.-выд. л. 3,11. Тыраж 500 экз.

ООО «Мэджик Бук». Лiцэнзiя № 02330/0056818 ад 02.03.2004 г.

220103, г. Мiнск, вул. Кнорына, 50А.

Надрукавана на рызографе ООО «Мэджик Бук». Заказ № 198.

__

Точные грани ограниченного числового множества.

Пусть X -числовое множество, содержащее хотя бы одно число (непустое множество).

x Î X - x содержится в Х.

x Ï X - x не принадлежит Х.

Определение: Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что для любого x Î X выполняется неравенство x £ M (x ³ m), при этом число М называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество Х называется ограниченным сверху, если $ M, " x Î Х: x £ M. Определение неограниченного сверху множества. Множество X называется неограниченным сверху, если " M $ x Î Х: x > M. Определение множество X называется огранич., если оно ограничено сверху и снизу, то есть $ М, m такие, что " x Î Х: m £ x £ M. Эквивалентное определение огр мн-ва: Множество X называется ограниченным, если $ A > 0, " x Î X: ½ x ½£ A. Определение: Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется его точной верхней гранью, и обозначается Sup Х (супремум). =Sup Х.

Аналогично можно определить точную нижнюю грань. Эквивалентное определение точной верхней грани: Число называется точной верхней гранью множества Х, если: 1) " x Î X: х £ (это условие показывает, что - одна из верхних граней). 2) " < $ x Î X: х > (это условие показывает, что - наименьшая из верхних граней).

Sup X = :

1. " x Î X: x £ .

2. " < $ x Î X: x > .

inf X (инфимум)-это точная нижняя грань. Поставим вопрос: всякое ли ограниченное множество имеет точные грани?

Пример: Х = { x: x >0} не имеет наименьшего числа.