Студопедия — Теорема 2.3
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема 2.3






Произведение ограниченной функции и функции, бесконечно малой в точке a, является бесконечно малой в точке a функцией.

Доказательство:
Пусть f (x) - ограниченная функция, то есть $ А > 0, " x Î{область определения f(x) }: | f(x) | < A, и пусть g (x) - бесконечно малая в точке a.

Тогда " e > 0 $ d > 0: " x Î {0 < | x - a | < d }: | g (x) | < .

Следовательно, " x Î {0 < | x - a | < d }: | f (x) g (x) | = × < e. Это и означает по определению, что f (x) g (x)- бесконечно малая в точке а функция.

Теорема доказана.

Следствие. Произведение конечного числа ограниченных функций, из которых хотя бы одна - бесконечно малая в точке а, является бесконечно малой функцией в точке а.

 

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Пусть f (x) и g (x)- бесконечно малые в точке а, то есть f (x) = 0, g (x) = 0.

Тогда называют неопределенностью типа .

Если = 0, то говорят что f (x) является бесконечно малой более высокого порядка в точке а, чем g (x), и пишут: f = 0(g) при х ® а.

Примеры:
=0(x) при x ® 0,

=0(x) при x ® 0.

Эти два неравенства, как и вообще неравенства с символом 0-малое, верны только слева направо, так как символ 0(х) обозначает любую функцию, являющуюся бесконечно малой более высокого порядка, чем х, при x ® 0.

Если = b ¹ 0, то говорят, что f (x) и g (x) являются бесконечно малыми одного порядка в точке а, и пишут: f = O (g) и g = O (f) при x ® а.

 

Пример:

= O (2 + ), так как = = ¹ 0.

Если = 1, то f (x) и g (x) называются эквивалентными бесконечно малыми в точке а.

Обозначение: f ~ g при x ® 0.

 

Пример: ~ + при x ® 0.

 

Свойства символа "0 малое":

1) 0(g) ± 0(g) = 0(g).

2)Если f = 0(g), то 0(f) ± 0(g) = 0(g).

3) fg = 0(f), fg = 0(g).

4)Если f ~ g, то f - g = 0(f), f - g = 0(g).

5)Если с = const ¹ 0, то 0(cg) = 0(g), например,

0(5 ) = 0().

Докажем 2):

Для этого нужно доказать, что = 0.

= + = × + = × + ® 0,

а это и означает, что 0(f) ± 0(g) = 0(g),

что и требовалось доказать.

 

Докажем 4):

Для этого нужно доказать, что = 0.

= 1 - ® 0, при х ® а, а это и означает, что f - g = 0(f), при х ® а.

Пусть f (x) и g (x) - бесконечно большие функции при x ® а. Тогда называют неопределенностью типа .

Если = ¥, то говорят что при x ® а функция f (x) имеет более высокий порядок роста, чем g (x).

Пример:

f(x)= и g (x) = - бескончно большие при x ® 0. Так как = = ¥, то

имеет более высокий порядок ростоа, чем при x ® 0.

Если = b ¹ 0, то говорят что f (x) и g (x) имеют одинаковый порядок роста при x ® а.

Другие типы неопределённостей:

¥ - ¥: например, -ctgx при x ® 0;

0 × ¥: например, xctgx при x ® 0;

: например, при x ® 0;

: например, при x ® + 0;

: например ,при x ® +¥.

 

 

5 Свойства пределов функций.

 

Лемма 1:

Если f (x) = b, то f (x) можно представить в виде: f (x) = b + a(x), где a(x)- бесконечно малая в точке а.

Доказательство: Запишем функцию f (x) в виде f (x) = b + .

Остаётся доказать, что a(x) = f (x) - b - бесконечно малая в функция в точке a.

По определению предела функции, " e > 0 $ d > 0, " x Î {0 < | x - a | < d }: | f (x) - b | < e.

То есть | a(x) | < e. Это и означает по определению, что a(x) - бесконечно малая функция в

точке а.

Лемма 1 доказана.

Лемма 2 (обратная лемме 1):

Если f(x) = b + a(x), где b -число, a(x)-бесконечно малая функция в точке а. то f (x) = 0.

Доказать самостоятельно.

Теорема 2.4

Пусть функции f (x) и g (x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и пусть f (x) = b, f (x) = c.

Тогда:

1) [ f (x) ± g (x)] = b ± c.

2) f (x) g (x) = bc.

3) Если с ¹ 0, то в некоторой проколотой окрестности точки а определена функция (то есть g (x) ¹ 0) и = .

Доказательство.

1.Докажем для суммы.

Согласно лемме 1, f (x) и g (x) можно представить в виде:

f (x) = b + a(x),

g (x) = c + b(x), где a(x) и b(x)- бесконечно малые функции в точке а.

f (x) + g (x) = (b + c) + [a(x) + b(x)].

Отсюда по лемме 2 следует, что [ f (x) + g (x)] = b + c.

Утверждение 1 для суммы доказано.

Докажем 3.

Пусть для определённости c > 0. Возьмём e = , тогда по определению предела функции

$ d > 0, " x Î {0 < | x - a | < d }: | g (x) - c | < e = ., или < .

Из пдчеркнутого неравенства следует что g (x) > > 0 в проколотой d- окрестности точки а. Тем самым определена функция . По лемме 1, f (x) = b + a(x), g (x) = c + b(x), где a(x) и b(x) -бесконечно малые в точке а. Поэтому - = - = (с a(x)- b b(x)).

Так как < в проколотой d- окрестности точки а и с a(x)- b b(x) бесконечно

малая в точке а, то - = g(х) - бесконечно малая в точке а.

Итак, = + g(х), где g(х) бесконечно малая функция в точке а.

Следовательно, по лемме 2, = .

Утверждение 3) доказано.

Утверждение 2) доказывается таким же образом.

Теорема доказана.

Теорема 2.4 верна также для пределов функций при х ® ¥.

Следствие 1.

c × f (x) = c × f (x), где с - число.

Следствие 2.

Пусть (x) и (х) - многочлены степени n и m. Функция f (x) = называется рациональной функцией. Утверждение: если (а) ¹ b, то = .

Доказательство:

Пусть (x) имеет вид: (x) = + +…+ , где ,…, - числа. Ранее было доказано, что x = а.

Отсюда в силу теоремы 2.4 следует:

(x) = a n +…+ = (а).

Аналогично, (х) = (а), и так как (а) ¹ 0, то = , что и требовалось доказать.

Теорема 2.5

Если f (x) ³ сс), и f (x) = b, то b ³ cc).

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда f (x) ³ c. Допустим, что b < c. Возьмём e столь малым, чтобы b + e < c. Согласно определению предела функции, в некоторой проколотой окрестности точки a все значения f (x) будут принадлежать (b - e, b + e), и, тем самым, будут < c, что противоречит условию f (x) ³ с. Полученное противоречие доказывает, что b ³ c.

Теорема доказана.

Замечание 1:

Теорема 2.5 верна также для предела функции при x ® ¥.

Замечание 2:

Из неравенства f(x) > с, не следует, что lim f(x) > с, а следует лишь, что lim f(x) ³ с.

Пример:

f(x) = > 0, " x > 0.

f(x) = 0.

Замечание 3:

Применяя теорему 2.5 к числовым последовательностям, приходим к следующему утверждению:

Если " n: a £ £ b (то есть Î [ a, b ]) и существует lim = c, то a £ c £ b.

Теорема 2.6 (о двух милиционерах).

Если f (x) £ g (x) £ h (x), и f (x) = h (x) = b, то g (x) = b.

Доказательство: зададим произвольное e > 0.

По определнию предела функции, $ d >0, " x Î {0 | x - a | < d}: | f(x) - b | < e, | h(x) - b | < e. (1)

Из условия теоремы следует, что f(x) - b £ g(x) - b £ h(x) - b, и поэтому, в силу неравенства (1) имеем:

| g (x) - b | < e " x Î {0 | x - a | < d}, а это и означает, что g (x) = b.

Теорема доказана.







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 591. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Виды сухожильных швов После выделения культи сухожилия и эвакуации гематомы приступают к восстановлению целостности сухожилия...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМОВОСПИТАНИЕ И САМООБРАЗОВАНИЕ ПЕДАГОГА Воспитывать сегодня подрастающее поколение на со­временном уровне требований общества нельзя без по­стоянного обновления и обогащения своего профессио­нального педагогического потенциала...

Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия