Студопедия — ЗАНЯТИЕ 3
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ЗАНЯТИЕ 3






Тема. ИНВАРИАНТНЫЕ ОБЪЕКТЫ, ВЕКТ0Р.ДИАДА.ТЕН30Р.

п.1. Инвариантными относительно преобразования координат называют свойства, не меняющиеся при названном преобразовании. Примером служат скалярные величины.

В частности, инвариантным является квадрат расстояния между близкими точками

.

Задача 1. Убедиться в инвариантности предыдущего представ­ления.

Решение. используем формулы преобразования и при переходе от старых координат к новым. Имеем

.

П.2. Вектор - линейная комбинация базисных векторов, он характеризуется инвариантной формой представления. . Здесь - вектор базиса, - компоненты вектора в данном базисе.

Задача 2. Показать инвариантность представления вектора в различных системах координат.

Решение. Используем формулы преобразования и .

.

Из инвариантности представления вектора следует другое определение вектора, компоненты разложения которого в данном базисе при переходе к новому базису изменяются по формуле: .

Задача 3. Доказать последнее утверждение.

Решение. Имеем равенство: . Учтем связь базисных векторов при переходе к новой системе координат. Тогда ; из сравнения сомножителей имеем , и т.д. Результат сложения векторов есть вектор, компоненты которого есть сумма компонентов слагаемых в том же базисе.

Задача 4. Показать, что если , то в общем случае не может быть компонентой вектора.

Решение. Если бы это было так, то , что, вообще говоря, неверно. Расположение индексов несущественно, если компонента берется в декартовой системе координат.

Задача 5. Привести различные формы представления вектора .

Решение. . Как следствие доказать .

Задача 6. Доказать инвариантность представления скалярного произведения векторов.

Решение.

П.3. Диада - элемент девятимерного линейного пространства, характеризуется разложением: . Здесь , образуют базис пространства.

Задача 7. Записать всевозможные диады из ортов декартовой системы координат .

Решение. - эти диады составляют линейно независимую систему диад, соответствующих декартовой системе координат, и образуют базис, с помощью которого может быть представлена любая диада. Последняя характеризуется матрицей из коэффициентов линейной комбинации элементов базиса. Например, - девятичленная форма диады, соответствующая ей матрица . Матрица, соответствующая девятичленной форме диады , имеет вид:

П.4. Тензор 2-го ранга (2-ой валентности) – линейная комбинация диад базисных векторов, инвариантная относительно непрерывного, взаимнооднозначного преобразования координат (точнее – относительно группы преобразований). Одна из форм представления тензора 2-го ранга , число индексов у компонент тензора определяет его ранг. Скаляр - тензор нулевого ранга, вектор – первого.

Задача 8. Представить все формы записи тензоров 2-го ранга.

Решение. .

П.5. Метрический тензор. в качестве компонент имеет элементы метрической матрицы.

.

Задача 9. Найти формулу преобразования ковариантных компонентов тензора 2-го ранга при переходе к новой системе координат.

Решение. Из инвариантной формы представления тензора и формулы преобразования векторов взаимного базиса имеем равенство: . Из сравнения левой и правой частей следует искомая формула: . Если индексированные величины при переходе к новой системе координат преобразуются по выше записанной формуле, то эти величины можно рассматривать в качестве компонент тензора . Сам тензор представляется заданием как , так и диад .

Задача 10. Найти формулу преобразования компонент со смешанным строением индексов при переходе к новой системе координат.

Решение.

. Из сравнения получаем .

Дополнительные задачи.

1. Показать, что при умножении вектора на скаляр получается векторная величина с компонентами .

Решение. .

2. Записать матрицу диады, составленной из векторов , где в скобках указаны декартовы компоненты векторов.

Ответ.

Решение. . Используя решение задачи 7 имеем

3. Записать метрический тензор в сферической системе координат.

Решение. .

4. Получить формулы преобразования компонент тензора при переходе от сферической системы к декартовой.

Решение. .

Далее используем соотношение из Задачи 9.

 

План занятия (80 мин).

1. Проверка домашнего задания (10 мин). Возможно, показать ход решения задачи, которую ни у кого не получилось решить (+5 мин).

2. Введение в новую тему. Теоретическая часть: инвариантность, вектор. + Решение у доски преподавателем задачи по теме занятия (Задача 1) (10 мин).

3. Самостоятельное решение задач студентами с вызовом к доске (Задачи 2,3,5, Доп. задача 1) (20 мин).

4. Введение в новую тему. Теоретическая часть: диада, тензор 2-го ранга. + Решение у доски преподавателем задачи по теме занятия (Задача 7) (10 мин).

5. Самостоятельное решение задач студентами с вызовом к доске (Доп. задача 2, Задачи 8,9) (20 мин).

6. Задание на дом (Задачи 4,6,10, Доп. задачи 3,4) (5 мин).








Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 809. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час...

Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Травматическая окклюзия и ее клинические признаки При пародонтите и парадонтозе резистентность тканей пародонта падает...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия