Розгляньмо випадок стохастичної моделі.

Припустимо, що попит на t -му проміжку часу лінійно залежить від поточної ціни (це припущення не є обов’язковим. Навпаки, воно досить жорстке. У реальних процесах припускається, що така залежність буде нелінійною. Вид залежності визначається на підставі застосування економетричних методів і моделей).

Окрім цього, вважатимемо, що попит на ринку має випадковий розкид. Для формалізованого опису необхідно в наших припущеннях обчислити на підставі доступної інформації відповідно оцінки коефіцієнтів лінійного рівняння та похибку як випадкову величину, що має певний закон розподілу.

У результаті відповідних обчислень можна отримати, зокрема, такий вираз:

D_t = A – BX_t + u_t, (1.1)

де D_t —попит на t -му проміжку часу; A, B —коефіцієнти лінійної регресії (В > 0); X_t — ціна одиниці продукції на t -му проміжку часу; u_t — випадкова величина, що має заданий закон розподілу.

Логічно припускати, що попит симетрично коливається відносно деякого середнього значення, котре визначається постійними коефіцієнтами лінійного рівняння (їхніми оцінками). Тому, зокре­ма, можна обрати нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і заданим середньоквадратичним відхиленням s _u.

Припустимо, що пропозиція впродовж поточного проміжку часу також лінійно (в середньому) залежить від ціни, але не поточної, а такої, що являє собою комбінацію цін на двох поперед­ніх проміжках часу. У найпростішому випадку це може бути середнє значення цін протягом двох попередніх проміжків часу. Отже, для обчислень пропозиції можна (якщо для цього є підстави) використовувати таку залежність:

S_t = C + KX (r) + v_t, (1.2)

де S_t — пропозиція впродовж t -го проміжку часу; C, K — коефіцієнти лінійної регресії (K > 0); X (r)—середнє (середньозважене) значення ціни на двох попередніх проміжках часу; v_t — випадкова величина, що має заданий закон розподілу. Можна, зокрема, для спрощення обрати нормальний закон розподілу випадкової величини v_t з нульовим математичним сподіванням і заданим середньоквадратичним відхиленням s _v.

Ціна X (r)може визначатися згідно з формулою:

X (r) = X_{t– 1}– r(X_{t –1}– X_{t –2}), (1.3)

де X_{t –1}— ціна на (t – 1)-му проміжку часу; X_{t –2} — ціна на (t – 2)-му проміжку часу; r — ваговий коефіцієнт, значення котрого задається в моделі в діапазоні (0 £ r £ 1). Якщо r = 0, то середньозважена ціна X (r) = X_{t –1}. Це означає, що навчання в модель не закладене. Для другого граничного випадку (r = 1) середньо­зважена ціна X (r) = X_{t –2}. Це також означає, що навчання у моделі відсутнє, але для визначення пропозиції використовується віддалене в часі значення ціни. За умови r = 0,5 середньозважена ціна X (r)дорівнює середньоарифметичному значенню цін X_{t –1} та X_{t –2}.

До моделі треба ще долучити рівняння локальної рівноваги ринку:

S_t = D_t + w_t, (1.4)

де S_t — пропозиція на t -му проміжку часу; D_t —попит на t -му проміжку часу; w_t — випадкова величина, котра має заданий закон розподілу.

Можна прийняти гіпотезу, що w_t має нормальний закон розподілу з нульовим значенням величини математичного сподівання та із середньоквадратичним відхиленням — s _w.

Система рівнянь (1.1)—(1.4) після відповідних простих перетворень зводиться до такого виразу:

X_t = F (X_{t –1}, X_{t –2}), (1.5)

де F (X_{t –1}, X_{t –2})—функція, що є оцінкою кореляційно-регресій­ного зв’язку між змінними X_t, X_{t –1}, X_{t –2}.

Спочатку необхідно якимось наближеним способом визначити ціну для перших двох проміжків часу. Після цього можна проводити обчислення згідно з виразом (1.5) певну кількість разів (ітерацій). Результати обчислень можуть бути подані також у графіч­ному вигляді.

Задача аналізу полягає у дослідженні впливу параметрів системи на характер залежності ціни у часі (як функції часу), а також у знаходженні рівноважної ціни.

Завдання для лабораторної роботи

1. Розробити алгоритм «павутиноподібної моделі» та програму його реалізації на комп’ютері. Провести налагодження програми для усунення формальних помилок.

Умова збіжності:

. (1.6)

Ітеративний процес завершується за умови, коли

,

де e — задане досить мале число.

2. Виявити збіжність процесу згідно із запропонованою схемою. Дослідити збіжність, коли:

а) K = B (наприклад K = 5);

б) K < B (наприклад K = 3);

в) K > B (наприклад K = 6).

3. Здійснити пошук і аналіз рівноважної ціни за умови, коли кореляційно-регресійні залежності між попитом на продукцію та її ціною, а також між пропозицією та ціною подані нелінійними залежностями. Побудувати відповідний алгоритм, комп’ютерну програму та провести відповідні обчислення на підставі певних гіпотетичних даних щодо значень параметрів моделі.